20 задание ЕГЭ математика: как решать теорию чисел

Кому: выпускнику · Обновлено 2026-10-25

Раздел: Математика (профиль) · Тема: Разборы заданий по номерам · Задание 20

20 задание профильной математики относится к теории чисел: нужно рассуждать о делимости, остатках, чётности и оценках, а не просто считать. Решение записывается с обоснованием, поэтому ответ без доказательства не засчитывается. Ниже даны алгоритм, набор приёмов и список ошибок, на которых теряют баллы.

Решить задание в тренажёре

20 задание ЕГЭ математика профиль: что в нём проверяют

В «Ранге» это задание отнесено к задания «Числа и их свойства: доказательные рассуждения», тема — теория чисел, уровень высокий. Обычно задача состоит из нескольких пунктов. Первый пункт часто можно решить подбором или простой проверкой. Последний требует строгого рассуждения: оценки и примера, который эту оценку подтверждает.

Чаще всего встречаются такие сюжеты:

• числа на доске, которые стирают или заменяют другими;
• наборы натуральных чисел с заданной суммой, средним арифметическим или произведением;
• последовательности и прогрессии с целыми членами;
• цифры числа и признаки делимости;
• задачи о количестве: сколько существует чисел, наборов, шагов.

Как решать 20 задание ЕГЭ математика: алгоритм по шагам

Не пытайся сразу увидеть весь ответ. Работай по шагам, и каждый шаг можно будет записать в чистовик.

• Выпиши условие формулами: что известно, какие числа целые, натуральные или различные, какие ограничения есть.
• Введи переменные. Если числа неизвестны, обозначь их буквами и сразу запиши, что они целые и в каких пределах.
• Разбери пункт а). Подбери пример или докажи, что его нет. Не пропускай этот шаг: он показывает, как устроена задача.
• Найди закономерность на малых числах. Перебери 2–3 варианта и посмотри, что у них общего: остаток, чётность, сумма цифр.
• В пункте с оценкой выбери приём: делимость, остатки, неравенство, крайний случай.
• Если спрашивают наибольшее или наименьшее значение, доказательство состоит из двух частей: оценка («больше быть не может, потому что…») и пример («это значение достигается вот так»). Одной части мало.
• Проверь пример подстановкой в исходное условие и запиши ответ.

Базовые приёмы теории чисел для задания 20

Большинство решений опирается на небольшой набор фактов. Проверь, что ты свободно ими пользуешься.

Делимость и остатки. Число делится на 9, если на 9 делится сумма его цифр. Остаток при делении на 3, 4, 5 или 9 позволяет быстро отсеять варианты. Если a = 5k + 2 и b = 5m + 3, то a + b делится на 5. Такие записи удобно подставлять в уравнение.

Чётность. Сумма двух нечётных чисел чётна. Если за один шаг чётность суммы меняется, а нужный результат требует другой чётности, задача решена как «невозможно».

Минимальная сумма различных чисел. Различные натуральные числа не меньше 1, 2, 3 и так далее. Например, сумма десяти различных натуральных чисел не меньше 1+2+…+10 = 55. Значит, набор из десяти различных натуральных чисел с суммой 40 невозможен.

Разложение на множители. Уравнение вида xy + x = 12 приводится к x(y + 1) = 12. Дальше перебираются делители числа 12 с учётом ограничений на x и y.

Среднее арифметическое. Условие «среднее равно 7» удобно переписать как «сумма равна 7n», где n — количество чисел.

Оценка и пример: как доказать, что значение наибольшее

Это самая частая причина потерянных баллов в пункте б) или в). Схема всегда одна.

Сначала докажи, что значение не может превышать M. Для этого из условия получи неравенство или ограничение по остаткам. Затем построй конкретный набор или последовательность, где значение равно M, и проверь все условия задачи. Если пример не построен, ты доказал только, что больше M быть не может, но не доказал, что M достигается.

Полезная привычка: ищи пример с самого начала, параллельно с оценкой. Если оценка получилась, а пример не строится, значит, оценка слишком слабая и её нужно уточнить.

Баллы за задания ЕГЭ математика профиль 2026 и 2027: где смотреть

Число баллов за каждое задание, максимальный первичный балл и шкалу перевода в сто баллов устанавливает ФИПИ, и эти данные могут меняться от года к году. Не ориентируйся на таблицы с форумов и из чужих пересказов. Открой на сайте fipi.ru раздел демоверсий и спецификацию профильной математики на нужный год: там указаны структура работы, максимальный балл за каждое задание и критерии оценивания заданий с развёрнутым ответом.

Ориентироваться на критерии для задания 20 полезно ещё и в подготовке. Они показывают, за какие шаги начисляют баллы по отдельности, например за пример и за обоснование. Тогда даже незаконченное решение стоит записывать аккуратно. Таблицы перевода баллов опубликованы на сайтах ФИПИ и Рособрнадзора (obrnadzor.gov.ru).

Открытый банк заданий ФИПИ и тренировка

Открытый банк заданий ФИПИ на 2026 год — основной источник реальных формулировок. Фильтруй задачи по номеру 20 и решай их по одной, а не пачкой. После каждой задачи сверяй решение с критериями, а не только с ответом: ответ может совпасть, а доказательство окажется неполным.

Хороший порядок такой: сначала пункты а), потом задачи целиком по времени, затем разбор ошибок. Потренироваться с проверкой ответа можно в тренажёре «Ранга» на странице задания 20.

Типичные ошибки и как проверить себя

Перед тем как сдать решение, пройди по списку.

• Пример подобран, но не проверен по всем условиям. Подставь числа в исходный текст ещё раз.
• Не учтено, что числа должны быть различными или натуральными. Ноль и отрицательные числа часто попадают в решение случайно.
• Оценка получена, но пример не построен (или наоборот).
• Вывод сделан по нескольким частным случаям. Перебор малых чисел помогает найти идею, но не заменяет доказательство.
• В записи нет слов «следовательно» и «так как». Проверяющий должен видеть, почему из одного шага следует другой.
• Арифметическая ошибка в примере. Пересчитай сумму или произведение отдельно.

Материал — разъяснение «Ранг». Официальные правила экзамена, расписание, шкалы баллов и перечни заданий публикуют ФИПИ (fipi.ru) и Рособрнадзор (obrnadzor.gov.ru). Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.