Математика, задание 20: Числа и их свойства

Задание № 20 проверяет тему «Числа и их свойства: доказательные рассуждения». Ниже — порядок решения из пяти ступеней, 10 авторских примеров с ответом и разбором, а также ошибки, на которых чаще всего теряют этот номер.

Подготовка с «Рангом»

«Ранг» — тренажёр ЕГЭ по номерам заданий: условие, проверка ответа сразу и разбор. Пробная неделя — бесплатно, без карты.

Начать пробную неделю — 7 дней бесплатно

Решить в тренажёре · Не знаешь, с какого задания начинать? Пройди бесплатный тест — 10 минут, без регистрации

Источник структуры: ФИПИ, документы ЕГЭ-2027 по математике, спецификация профильного уровня, приложение 1. Предварительно, сверка после утверждения.

Что проверяет задание 20

Предмет
Математика (профиль)
Номер задания в КИМ
20 — Числа и их свойства: доказательные рассуждения
Что проверяют по школьной программе
элементы содержания 1, 2, 5 по проекту спецификации 2027
Что нужно уметь
требования 1, 2, 13 по проекту спецификации 2027
Что писать в ответе
развёрнутый ответ
Уровень задания
высокий уровень
Темы
теория чисел
Источник формулировки
по проекту спецификации КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ (номера и темы заданий) и кодификатору ФИПИ ЕГЭ-2026 (проверяемые знания и умения) — проектные документы; структура может измениться до утверждения

Как решать задание 20: пять ступеней

  1. Прочитай вопрос до конца и отметь, что требуется в ответе: развёрнутый ответ.
  2. Выпиши данные условия и отметь, чего не хватает. Тема задания — «Числа и их свойства: доказательные рассуждения»; работай в её понятиях: теория чисел.
  3. Выбери правило или алгоритм темы. Если правил несколько, проверь условие применимости каждого — это и отделяет верное решение от «похожего».
  4. Выполни действие и проверь ограничения: знак, диапазон, единицы, число объектов. Промежуточные величины не округляй.
  5. Запиши решение целиком: каждый переход с объяснением, а в конце — отдельной строкой ответ. Балл ставят за обоснование, а не за итог.

За что ставят баллы в задании 20

Это задание второй части: работу читает эксперт и ставит баллы по шкале экзамена 2027 года. Наибольший балл за задание — 4. Проверяют не совпадение итога, а решение целиком, поэтому каждый переход нужно объяснить.

Ниже — ориентир по демоверсии. Точные условия частичного балла зависят от конкретного задания; смотри критерии в официальном комплекте выше.

4 из 4
Верно получены все четыре результата: решение пункта а), пример в пункте б), оценка в пункте в) и пример, который показывает, что оценка точна.
3 из 4
Верно получены три результата из четырёх, перечисленных в критерии на четыре балла.
2 из 4
Верно получены два результата из четырёх, перечисленных в критерии на четыре балла.
1 из 4
Верно получен один результат из четырёх: решение пункта а), пример в пункте б), оценка или пример к оценке в пункте в).
0 из 4
Решение не отвечает ни одному из условий выше. Перебор нескольких чисел без общего рассуждения доказательством не считается.

Авторские задачи с разбором и самопроверкой

Тренируем отдельные приёмы задания: это учебные примеры, а не полный вариант экзамена. Сначала запиши решение на бумаге, затем проверь вычисление и раскрой разбор. Самопроверка числа не заменяет оценку доказательства экспертом.

Пример, невозможность и наибольшее значение

Сумма пяти различных натуральных чисел равна 40. а) Может ли наименьшее число равняться 6? б) Может ли наименьшее число равняться 7? в) Найди наибольшее возможное значение наименьшего числа.

Показать ответ и разбор

Ответ: а) да; б) нет; в) 6

  1. а) Да: числа 6, 7, 8, 9, 10 различны, натуральны, их сумма равна 40.
  2. б) Нет. Если все числа не меньше 7 и различны, их сумма не меньше 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 45, что противоречит условию.
  3. в) Обозначим наименьшее число m. Остальные не меньше m + 1, m + 2, m + 3, m + 4, поэтому 40 ≥ 5m + 10, откуда m ≤ 6. Пример из пункта а) достигает этой оценки. Значит, максимум равен 6.

Авторский учебный пример «Ранга», не официальное задание ФИПИ.

10 упражнений на остатки

Условия составлены «Рангом», ответ у каждого примера посчитан и проверен вторым, независимым способом. Сначала реши — потом раскрой разбор.

Пример 1

Найди наименьшее натуральное число, которое при делении на 11 даёт остаток 2, а при делении на 15 — остаток 8.

Показать ответ и разбор

Ответ: 68

  1. Шаг 1. Запиши условие остатками: искомое N имеет вид N = 11·k + 2 и одновременно вид N = 15·n + 8, где k и n — целые неотрицательные.
  2. Шаг 2. Модули 11 и 15 взаимно просты, поэтому НОК(11; 15) = 165: все подходящие числа повторяются с шагом 165, и наименьшее натуральное среди них ровно одно.
  3. Шаг 3. Иди по числам вида 11·k + 2: 2, 13, 24, … — и на каждом проверяй остаток при делении на 15.
  4. Шаг 4. Первое число этой лестницы, у которого остаток по 15 равен 8, — это 68. Проверь оба условия: 68 = 11·6 + 2 и 68 = 15·4 + 8. Ответ: 68.
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (обратный элемент по модулю 15 с прямой формулой китайской теоремы об остатках и пересечение множествами двух прогрессий на периоде 165): оба дают 68.

Авторский пример «Ранга», не ФИПИ.

Пример 2

Найди наименьшее натуральное число, которое при делении на 3 даёт остаток 2, а при делении на 4 — остаток 3.

Показать ответ и разбор

Ответ: 11

  1. Шаг 1. Запиши условие остатками: искомое N имеет вид N = 3·k + 2 и одновременно вид N = 4·n + 3, где k и n — целые неотрицательные.
  2. Шаг 2. Модули 3 и 4 взаимно просты, поэтому НОК(3; 4) = 12: все подходящие числа повторяются с шагом 12, и наименьшее натуральное среди них ровно одно.
  3. Шаг 3. Иди по числам вида 3·k + 2: 2, 5, 8, … — и на каждом проверяй остаток при делении на 4.
  4. Шаг 4. Первое число этой лестницы, у которого остаток по 4 равен 3, — это 11. Проверь оба условия: 11 = 3·3 + 2 и 11 = 4·2 + 3. Ответ: 11.
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (обратный элемент по модулю 4 с прямой формулой китайской теоремы об остатках и пересечение множествами двух прогрессий на периоде 12): оба дают 11.

Авторский пример «Ранга», не ФИПИ.

Пример 3

Найди наименьшее натуральное число, которое при делении на 9 даёт остаток 8, а при делении на 14 — остаток 2.

Показать ответ и разбор

Ответ: 44

  1. Шаг 1. Запиши условие остатками: искомое N имеет вид N = 9·k + 8 и одновременно вид N = 14·n + 2, где k и n — целые неотрицательные.
  2. Шаг 2. Модули 9 и 14 взаимно просты, поэтому НОК(9; 14) = 126: все подходящие числа повторяются с шагом 126, и наименьшее натуральное среди них ровно одно.
  3. Шаг 3. Иди по числам вида 9·k + 8: 8, 17, 26, … — и на каждом проверяй остаток при делении на 14.
  4. Шаг 4. Первое число этой лестницы, у которого остаток по 14 равен 2, — это 44. Проверь оба условия: 44 = 9·4 + 8 и 44 = 14·3 + 2. Ответ: 44.
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (обратный элемент по модулю 14 с прямой формулой китайской теоремы об остатках и пересечение множествами двух прогрессий на периоде 126): оба дают 44.

Авторский пример «Ранга», не ФИПИ.

Пример 4

Найди наименьшее натуральное число, которое при делении на 13 даёт остаток 2, а при делении на 16 — остаток 7.

Показать ответ и разбор

Ответ: 119

  1. Шаг 1. Запиши условие остатками: искомое N имеет вид N = 13·k + 2 и одновременно вид N = 16·n + 7, где k и n — целые неотрицательные.
  2. Шаг 2. Модули 13 и 16 взаимно просты, поэтому НОК(13; 16) = 208: все подходящие числа повторяются с шагом 208, и наименьшее натуральное среди них ровно одно.
  3. Шаг 3. Иди по числам вида 13·k + 2: 2, 15, 28, … — и на каждом проверяй остаток при делении на 16.
  4. Шаг 4. Первое число этой лестницы, у которого остаток по 16 равен 7, — это 119. Проверь оба условия: 119 = 13·9 + 2 и 119 = 16·7 + 7. Ответ: 119.
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (обратный элемент по модулю 16 с прямой формулой китайской теоремы об остатках и пересечение множествами двух прогрессий на периоде 208): оба дают 119.

Авторский пример «Ранга», не ФИПИ.

Пример 5

Найди наименьшее натуральное число, которое при делении на 13 даёт остаток 7, а при делении на 15 — остаток 1.

Показать ответ и разбор

Ответ: 46

  1. Шаг 1. Запиши условие остатками: искомое N имеет вид N = 13·k + 7 и одновременно вид N = 15·n + 1, где k и n — целые неотрицательные.
  2. Шаг 2. Модули 13 и 15 взаимно просты, поэтому НОК(13; 15) = 195: все подходящие числа повторяются с шагом 195, и наименьшее натуральное среди них ровно одно.
  3. Шаг 3. Иди по числам вида 13·k + 7: 7, 20, 33, … — и на каждом проверяй остаток при делении на 15.
  4. Шаг 4. Первое число этой лестницы, у которого остаток по 15 равен 1, — это 46. Проверь оба условия: 46 = 13·3 + 7 и 46 = 15·3 + 1. Ответ: 46.
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (обратный элемент по модулю 15 с прямой формулой китайской теоремы об остатках и пересечение множествами двух прогрессий на периоде 195): оба дают 46.

Авторский пример «Ранга», не ФИПИ.

Пример 6

Найди наименьшее натуральное число, которое при делении на 13 даёт остаток 6, а при делении на 15 — остаток 7.

Показать ответ и разбор

Ответ: 97

  1. Шаг 1. Запиши условие остатками: искомое N имеет вид N = 13·k + 6 и одновременно вид N = 15·n + 7, где k и n — целые неотрицательные.
  2. Шаг 2 — как в примере 5.
  3. Шаг 3. Иди по числам вида 13·k + 6: 6, 19, 32, … — и на каждом проверяй остаток при делении на 15.
  4. Шаг 4. Первое число этой лестницы, у которого остаток по 15 равен 7, — это 97. Проверь оба условия: 97 = 13·7 + 6 и 97 = 15·6 + 7. Ответ: 97.
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (обратный элемент по модулю 15 с прямой формулой китайской теоремы об остатках и пересечение множествами двух прогрессий на периоде 195): оба дают 97.

Авторский пример «Ранга», не ФИПИ.

Пример 7

Найди наименьшее натуральное число, которое при делении на 6 даёт остаток 1, а при делении на 11 — остаток 9.

Показать ответ и разбор

Ответ: 31

  1. Шаг 1. Запиши условие остатками: искомое N имеет вид N = 6·k + 1 и одновременно вид N = 11·n + 9, где k и n — целые неотрицательные.
  2. Шаг 2. Модули 6 и 11 взаимно просты, поэтому НОК(6; 11) = 66: все подходящие числа повторяются с шагом 66, и наименьшее натуральное среди них ровно одно.
  3. Шаг 3. Иди по числам вида 6·k + 1: 1, 7, 13, … — и на каждом проверяй остаток при делении на 11.
  4. Шаг 4. Первое число этой лестницы, у которого остаток по 11 равен 9, — это 31. Проверь оба условия: 31 = 6·5 + 1 и 31 = 11·2 + 9. Ответ: 31.
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (обратный элемент по модулю 11 с прямой формулой китайской теоремы об остатках и пересечение множествами двух прогрессий на периоде 66): оба дают 31.

Авторский пример «Ранга», не ФИПИ.

Пример 8

Найди наименьшее натуральное число, которое при делении на 13 даёт остаток 6, а при делении на 19 — остаток 17.

Показать ответ и разбор

Ответ: 188

  1. Шаг 1. Запиши условие остатками: искомое N имеет вид N = 13·k + 6 и одновременно вид N = 19·n + 17, где k и n — целые неотрицательные.
  2. Шаг 2. Модули 13 и 19 взаимно просты, поэтому НОК(13; 19) = 247: все подходящие числа повторяются с шагом 247, и наименьшее натуральное среди них ровно одно.
  3. Шаг 3. Иди по числам вида 13·k + 6: 6, 19, 32, … — и на каждом проверяй остаток при делении на 19.
  4. Шаг 4. Первое число этой лестницы, у которого остаток по 19 равен 17, — это 188. Проверь оба условия: 188 = 13·14 + 6 и 188 = 19·9 + 17. Ответ: 188.
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (обратный элемент по модулю 19 с прямой формулой китайской теоремы об остатках и пересечение множествами двух прогрессий на периоде 247): оба дают 188.

Авторский пример «Ранга», не ФИПИ.

Пример 9

Найди наименьшее натуральное число, которое при делении на 6 даёт остаток 1, а при делении на 19 — остаток 5.

Показать ответ и разбор

Ответ: 43

  1. Шаг 1. Запиши условие остатками: искомое N имеет вид N = 6·k + 1 и одновременно вид N = 19·n + 5, где k и n — целые неотрицательные.
  2. Шаг 2. Модули 6 и 19 взаимно просты, поэтому НОК(6; 19) = 114: все подходящие числа повторяются с шагом 114, и наименьшее натуральное среди них ровно одно.
  3. Шаг 3. Иди по числам вида 6·k + 1: 1, 7, 13, … — и на каждом проверяй остаток при делении на 19.
  4. Шаг 4. Первое число этой лестницы, у которого остаток по 19 равен 5, — это 43. Проверь оба условия: 43 = 6·7 + 1 и 43 = 19·2 + 5. Ответ: 43.
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (обратный элемент по модулю 19 с прямой формулой китайской теоремы об остатках и пересечение множествами двух прогрессий на периоде 114): оба дают 43.

Авторский пример «Ранга», не ФИПИ.

Пример 10

Найди наименьшее натуральное число, которое при делении на 5 даёт остаток 1, а при делении на 19 — остаток 4.

Показать ответ и разбор

Ответ: 61

  1. Шаг 1. Запиши условие остатками: искомое N имеет вид N = 5·k + 1 и одновременно вид N = 19·n + 4, где k и n — целые неотрицательные.
  2. Шаг 2. Модули 5 и 19 взаимно просты, поэтому НОК(5; 19) = 95: все подходящие числа повторяются с шагом 95, и наименьшее натуральное среди них ровно одно.
  3. Шаг 3. Иди по числам вида 5·k + 1: 1, 6, 11, … — и на каждом проверяй остаток при делении на 19.
  4. Шаг 4. Первое число этой лестницы, у которого остаток по 19 равен 4, — это 61. Проверь оба условия: 61 = 5·12 + 1 и 61 = 19·3 + 4. Ответ: 61.
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (обратный элемент по модулю 19 с прямой формулой китайской теоремы об остатках и пересечение множествами двух прогрессий на периоде 95): оба дают 61.

Авторский пример «Ранга», не ФИПИ.

Типичные ошибки в задании 20

  • Пишут только ответ. Во второй части балл ставят за решение: без выкладок верный ответ оценивается нулём.
  • Делают замену переменной и не возвращаются к исходной — решение обрывается на середине, хотя спрашивали про неё.
  • Не проверяют, подходят ли найденные значения по смыслу: посторонние корни замены остаются в ответе.
  • Теряют или лишний раз включают граничные точки — знак «строго» и «нестрого» на границе меняет ответ.
  • Отвечают на пункт а) и забывают про пункт б): отбор на отрезке — самостоятельная половина задания со своим баллом.
  • Пропускают обоснование шага: на высоком уровне проверяется путь, а не только полученное число.
  • Берут формулу по памяти, не проверив, выполняется ли её условие в этой задаче.
  • Не сверяют полученный ответ с вопросом: величина верная, но спрашивали другую.

Это про тебя?

Это не наши слова: так пишут сами выпускники. Три причины бросить подготовку — и что с ними делает эта страница.

  • «ничего не успевает ни смотреть, ни прорешивать, для неё большой объём оказался»Здесь не весь курс: один номер задания, пять ступеней и десять примеров. Это один вечер, а не «выучить всё к июню».
  • «лучше с дедлайнами»Срок ставит «Ранг»: после бесплатного теста появляется план на неделю по твоим провалённым номерам. Держаться чужого срока проще, чем заставлять себя самому.
  • «Много воды, много времени отнимают беспонтовые шутки»Воды нет: разбор, пример, ошибка — и следующая задача. Ни вебинаров на три часа, ни «мотивации» между делом.

Проверить себя на задании 20

Решить в тренажёре

Пройти бесплатный тест — 10 минут

Частые вопросы про задание 20 ЕГЭ по математике (профиль)

Сколько баллов даёт задание 20 и за что их снимают?
Наибольший балл за задание — 4. Его ставят за полное обоснованное решение; за решение с одной поправимой оплошностью дают меньше, а ответ без решения оценивается нулём. Все ступени шкалы разобраны в блоке «За что ставят баллы» на этой странице.
Как решать задание 20 ЕГЭ по математике (профиль)?
Прочитай вопрос до конца и отметь, что требуется в ответе: развёрнутый ответ. Дальше — выписать данные, выбрать правило темы «Числа и их свойства: доказательные рассуждения» и проверить ограничения. Полный порядок из пяти ступеней и разобранные учебные примеры — на этой странице.
Что проверяет задание 20 ЕГЭ по математике (профиль)?
Задание № 20 по проекту спецификации: «Числа и их свойства: доказательные рассуждения». Проверяемые темы: теория чисел. В ответе требуется развёрнутый ответ; уровень задания — высокий уровень.
Это официальные задания ФИПИ?
Нет. На странице авторские тренировочные задания в формате ЕГЭ с собственными формулировками и разбором. Формулировка проверяемого задания приведена по проекту спецификации КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ (номера и темы заданий) и кодификатору ФИПИ ЕГЭ-2026 (проверяемые знания и умения).
Где потренироваться на задании 20?
Кнопка «Решить в тренажёре» на этой странице ведёт в тренажёр «Ранга»: условие открыто, краткий ответ проверяется сразу, регистрация для первой задачи не нужна.

Соседние задания

Номера экзамена идут подряд, и подготовка идёт так же. Рядом — разборы соседних номеров этого предмета: то же устройство страницы, другая тема и другой порядок решения.

Читать дальше в блоге «Ранга»

Все статьи блога «Ранга» о подготовке к ЕГЭ — расписание, шкалы перевода баллов, планы подготовки и разборы для родителей.

Задания на странице — авторские тренировочные, в формате ЕГЭ. Это не официальные задания ФИПИ и не их копии. Формулировки заданий приведены по проекту спецификации КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ (номера и темы заданий) и кодификатору ФИПИ ЕГЭ-2026 (проверяемые знания и умения); перед индексацией страницы сведения сверяются с публикациями ФИПИ и Рособрнадзора. Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.