Математика (профиль), задание 15 ЕГЭ: что проверяет и как решать

Линия 15 проверяет тему «Неравенства повышенной сложности». Ниже — порядок решения из пяти ступеней, 10 авторских примеров с ответом и разбором, а также ошибки, на которых чаще всего теряют этот номер.

Пройти бесплатный тест — 10 минут

Что проверяет задание 15

Предмет
Математика (профиль)
Линия кодификатора
15 — Неравенства повышенной сложности
Что проверяют по школьной программе
пункт 2.10 перечня проверяемых знаний
Что нужно уметь
пункт 2.10 перечня требований к выпускнику
Что писать в ответе
развёрнутый ответ
Уровень линии
повышенный уровень
Темы
неравенства
Источник формулировки
кодификатор и спецификация ФИПИ 2026/2027 — официальные документы экзамена этого года

Как решать задание 15: пять ступеней

  1. Прочитай вопрос до конца и отметь, что требуется в ответе: развёрнутый ответ.
  2. Выпиши данные условия и отметь, чего не хватает. Тема линии — «Неравенства повышенной сложности»; работай в её понятиях: неравенства.
  3. Выбери правило или алгоритм темы. Если правил несколько, проверь условие применимости каждого — это и отделяет верное решение от «похожего».
  4. Выполни действие и проверь ограничения: знак, диапазон, единицы, число объектов. Промежуточные величины не округляй.
  5. Запиши решение целиком: каждый переход с объяснением, а в конце — отдельной строкой ответ. Балл ставят за обоснование, а не за итог.

За что ставят баллы в задании 15

Это задание второй части: работу читает эксперт и ставит баллы по шкале экзамена 2026/2027 года. Наибольший балл линии — 2. Проверяют не совпадение итога, а решение целиком, поэтому каждый переход нужно объяснить.

2 из 2
Обоснованно получен верный ответ: переход к новой переменной выполнен, обратный переход к исходной переменной сделан и объяснён, множество решений записано полностью.
1 из 2
Решение верное по ходу, но ответ отличается от верного только включением или потерей граничных точек — то есть знак «строго» и «нестрого» перепутан на границе.
0 из 2
Решение не отвечает ни одному из условий выше. Верный ответ без обоснования баллов не приносит.

10 авторских примеров из банка «Ранга»

Условия составлены «Рангом», ответ у каждого примера посчитан и проверен вторым, независимым способом. Сначала реши — потом раскрой разбор.

Пример 1

Решите неравенство 4ˣ − 9·2ˣ + 8 ≤ 0.

Показать ответ и разбор

Ответ: [0; 3]

  1. Шаг 1. Заметь, что 4ˣ = (2ˣ)², и обозначь y = 2ˣ. Неравенство становится квадратным: y² − 9y + 8 ≤ 0.
  2. Шаг 2. Разложи левую часть на множители: (y − 1)(y − 8) ≤ 0.
  3. Шаг 3. Прочитай знак по параболе: выражение не положительно между корнями, то есть 1 ≤ y ≤ 8.
  4. Шаг 4. Вернитесь к x. Функция 2ˣ возрастает, поэтому неравенство для y переходит в такое же неравенство для показателей: 2ˣ = 1 при x = 0, 2ˣ = 8 при x = 3. Ответ: [0; 3].
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (подстановка точек в левую часть исходного неравенства и дискриминант замены с точным двоичным логарифмом): оба дают [0; 3].

Как сделан пример: условие собрано по авторскому образцу этой линии, ответ посчитан и сверен вторым способом. Авторское тренировочное задание, не задание ФИПИ.

Пример 2

Решите неравенство 4ˣ − 3·2ˣ + 2 ≤ 0.

Показать ответ и разбор

Ответ: [0; 1]

  1. Шаг 1. Заметь, что 4ˣ = (2ˣ)², и обозначь y = 2ˣ. Неравенство становится квадратным: y² − 3y + 2 ≤ 0.
  2. Шаг 2. Разложи левую часть на множители: (y − 1)(y − 2) ≤ 0.
  3. Шаг 3. Прочитай знак по параболе: выражение не положительно между корнями, то есть 1 ≤ y ≤ 2.
  4. Шаг 4. Вернитесь к x. Функция 2ˣ возрастает, поэтому неравенство для y переходит в такое же неравенство для показателей: 2ˣ = 1 при x = 0, 2ˣ = 2 при x = 1. Ответ: [0; 1].
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (подстановка точек в левую часть исходного неравенства и дискриминант замены с точным двоичным логарифмом): оба дают [0; 1].

Как сделан пример: условие собрано по авторскому образцу этой линии, ответ посчитан и сверен вторым способом. Авторское тренировочное задание, не задание ФИПИ.

Пример 3

Решите неравенство 4ˣ − 5·2ˣ + 4 ≤ 0.

Показать ответ и разбор

Ответ: [0; 2]

  1. Шаг 1. Заметь, что 4ˣ = (2ˣ)², и обозначь y = 2ˣ. Неравенство становится квадратным: y² − 5y + 4 ≤ 0.
  2. Шаг 2. Разложи левую часть на множители: (y − 1)(y − 4) ≤ 0.
  3. Шаг 3. Прочитай знак по параболе: выражение не положительно между корнями, то есть 1 ≤ y ≤ 4.
  4. Шаг 4. Вернитесь к x. Функция 2ˣ возрастает, поэтому неравенство для y переходит в такое же неравенство для показателей: 2ˣ = 1 при x = 0, 2ˣ = 4 при x = 2. Ответ: [0; 2].
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (подстановка точек в левую часть исходного неравенства и дискриминант замены с точным двоичным логарифмом): оба дают [0; 2].

Как сделан пример: условие собрано по авторскому образцу этой линии, ответ посчитан и сверен вторым способом. Авторское тренировочное задание, не задание ФИПИ.

Пример 4

Решите неравенство 4ˣ − 20·2ˣ + 64 ≥ 0.

Показать ответ и разбор

Ответ: (−∞; 2] ∪ [4; +∞)

  1. Шаг 1. Заметь, что 4ˣ = (2ˣ)², и обозначь y = 2ˣ. Неравенство становится квадратным: y² − 20y + 64 ≥ 0.
  2. Шаг 2. Разложи левую часть на множители: (y − 4)(y − 16) ≥ 0.
  3. Шаг 3. Прочитай знак по параболе: выражение не отрицательно вне отрезка между корнями, то есть y ≤ 4 либо y ≥ 16.
  4. Шаг 4. Вернитесь к x. Функция 2ˣ возрастает, поэтому неравенство для y переходит в такое же неравенство для показателей: 2ˣ = 4 при x = 2, 2ˣ = 16 при x = 4. Ответ: (−∞; 2] ∪ [4; +∞).
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (подстановка точек в левую часть исходного неравенства и дискриминант замены с точным двоичным логарифмом): оба дают (−∞; 2] ∪ [4; +∞).

Как сделан пример: условие собрано по авторскому образцу этой линии, ответ посчитан и сверен вторым способом. Авторское тренировочное задание, не задание ФИПИ.

Пример 5

Решите неравенство 4ˣ − 12·2ˣ + 32 ≥ 0.

Показать ответ и разбор

Ответ: (−∞; 2] ∪ [3; +∞)

  1. Шаг 1. Заметь, что 4ˣ = (2ˣ)², и обозначь y = 2ˣ. Неравенство становится квадратным: y² − 12y + 32 ≥ 0.
  2. Шаг 2. Разложи левую часть на множители: (y − 4)(y − 8) ≥ 0.
  3. Шаг 3. Прочитай знак по параболе: выражение не отрицательно вне отрезка между корнями, то есть y ≤ 4 либо y ≥ 8.
  4. Шаг 4. Вернитесь к x. Функция 2ˣ возрастает, поэтому неравенство для y переходит в такое же неравенство для показателей: 2ˣ = 4 при x = 2, 2ˣ = 8 при x = 3. Ответ: (−∞; 2] ∪ [3; +∞).
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (подстановка точек в левую часть исходного неравенства и дискриминант замены с точным двоичным логарифмом): оба дают (−∞; 2] ∪ [3; +∞).

Как сделан пример: условие собрано по авторскому образцу этой линии, ответ посчитан и сверен вторым способом. Авторское тренировочное задание, не задание ФИПИ.

Пример 6

Решите неравенство 4ˣ − 6·2ˣ + 8 ≥ 0.

Показать ответ и разбор

Ответ: (−∞; 1] ∪ [2; +∞)

  1. Шаг 1. Заметь, что 4ˣ = (2ˣ)², и обозначь y = 2ˣ. Неравенство становится квадратным: y² − 6y + 8 ≥ 0.
  2. Шаг 2. Разложи левую часть на множители: (y − 2)(y − 4) ≥ 0.
  3. Шаг 3. Прочитай знак по параболе: выражение не отрицательно вне отрезка между корнями, то есть y ≤ 2 либо y ≥ 4.
  4. Шаг 4. Вернитесь к x. Функция 2ˣ возрастает, поэтому неравенство для y переходит в такое же неравенство для показателей: 2ˣ = 2 при x = 1, 2ˣ = 4 при x = 2. Ответ: (−∞; 1] ∪ [2; +∞).
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (подстановка точек в левую часть исходного неравенства и дискриминант замены с точным двоичным логарифмом): оба дают (−∞; 1] ∪ [2; +∞).

Как сделан пример: условие собрано по авторскому образцу этой линии, ответ посчитан и сверен вторым способом. Авторское тренировочное задание, не задание ФИПИ.

Пример 7

Решите неравенство 4ˣ − 5·2ˣ + 4 ≥ 0.

Показать ответ и разбор

Ответ: (−∞; 0] ∪ [2; +∞)

  1. Шаг 1. Заметь, что 4ˣ = (2ˣ)², и обозначь y = 2ˣ. Неравенство становится квадратным: y² − 5y + 4 ≥ 0.
  2. Шаг 2. Разложи левую часть на множители: (y − 1)(y − 4) ≥ 0.
  3. Шаг 3. Прочитай знак по параболе: выражение не отрицательно вне отрезка между корнями, то есть y ≤ 1 либо y ≥ 4.
  4. Шаг 4. Вернитесь к x. Функция 2ˣ возрастает, поэтому неравенство для y переходит в такое же неравенство для показателей: 2ˣ = 1 при x = 0, 2ˣ = 4 при x = 2. Ответ: (−∞; 0] ∪ [2; +∞).
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (подстановка точек в левую часть исходного неравенства и дискриминант замены с точным двоичным логарифмом): оба дают (−∞; 0] ∪ [2; +∞).

Как сделан пример: условие собрано по авторскому образцу этой линии, ответ посчитан и сверен вторым способом. Авторское тренировочное задание, не задание ФИПИ.

Пример 8

Решите неравенство 4ˣ − 18·2ˣ + 32 ≥ 0.

Показать ответ и разбор

Ответ: (−∞; 1] ∪ [4; +∞)

  1. Шаг 1. Заметь, что 4ˣ = (2ˣ)², и обозначь y = 2ˣ. Неравенство становится квадратным: y² − 18y + 32 ≥ 0.
  2. Шаг 2. Разложи левую часть на множители: (y − 2)(y − 16) ≥ 0.
  3. Шаг 3. Прочитай знак по параболе: выражение не отрицательно вне отрезка между корнями, то есть y ≤ 2 либо y ≥ 16.
  4. Шаг 4. Вернитесь к x. Функция 2ˣ возрастает, поэтому неравенство для y переходит в такое же неравенство для показателей: 2ˣ = 2 при x = 1, 2ˣ = 16 при x = 4. Ответ: (−∞; 1] ∪ [4; +∞).
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (подстановка точек в левую часть исходного неравенства и дискриминант замены с точным двоичным логарифмом): оба дают (−∞; 1] ∪ [4; +∞).

Как сделан пример: условие собрано по авторскому образцу этой линии, ответ посчитан и сверен вторым способом. Авторское тренировочное задание, не задание ФИПИ.

Пример 9

Решите неравенство 4ˣ − 10·2ˣ + 16 ≥ 0.

Показать ответ и разбор

Ответ: (−∞; 1] ∪ [3; +∞)

  1. Шаг 1. Заметь, что 4ˣ = (2ˣ)², и обозначь y = 2ˣ. Неравенство становится квадратным: y² − 10y + 16 ≥ 0.
  2. Шаг 2. Разложи левую часть на множители: (y − 2)(y − 8) ≥ 0.
  3. Шаг 3. Прочитай знак по параболе: выражение не отрицательно вне отрезка между корнями, то есть y ≤ 2 либо y ≥ 8.
  4. Шаг 4. Вернитесь к x. Функция 2ˣ возрастает, поэтому неравенство для y переходит в такое же неравенство для показателей: 2ˣ = 2 при x = 1, 2ˣ = 8 при x = 3. Ответ: (−∞; 1] ∪ [3; +∞).
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (подстановка точек в левую часть исходного неравенства и дискриминант замены с точным двоичным логарифмом): оба дают (−∞; 1] ∪ [3; +∞).

Как сделан пример: условие собрано по авторскому образцу этой линии, ответ посчитан и сверен вторым способом. Авторское тренировочное задание, не задание ФИПИ.

Пример 10

Решите неравенство 4ˣ − 10·2ˣ + 16 ≤ 0.

Показать ответ и разбор

Ответ: [1; 3]

  1. Шаг 1. Заметь, что 4ˣ = (2ˣ)², и обозначь y = 2ˣ. Неравенство становится квадратным: y² − 10y + 16 ≤ 0.
  2. Шаг 2. Разложи левую часть на множители: (y − 2)(y − 8) ≤ 0.
  3. Шаг 3. Прочитай знак по параболе: выражение не положительно между корнями, то есть 2 ≤ y ≤ 8.
  4. Шаг 4. Вернитесь к x. Функция 2ˣ возрастает, поэтому неравенство для y переходит в такое же неравенство для показателей: 2ˣ = 2 при x = 1, 2ˣ = 8 при x = 3. Ответ: [1; 3].
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (подстановка точек в левую часть исходного неравенства и дискриминант замены с точным двоичным логарифмом): оба дают [1; 3].

Как сделан пример: условие собрано по авторскому образцу этой линии, ответ посчитан и сверен вторым способом. Авторское тренировочное задание, не задание ФИПИ.

Типичные ошибки в задании 15

  • Пишут только ответ. Во второй части балл ставят за решение: без выкладок верный ответ оценивается нулём.
  • Делают замену переменной и не возвращаются к исходной — решение обрывается на середине, хотя спрашивали про неё.
  • Не проверяют, подходят ли найденные значения по смыслу: посторонние корни замены остаются в ответе.
  • Теряют или лишний раз включают граничные точки — знак «строго» и «нестрого» на границе меняет ответ.
  • Отвечают на пункт а) и забывают про пункт б): отбор на отрезке — самостоятельная половина задания со своим баллом.
  • Начинают решать раньше, чем выписали все данные: на повышенном уровне в условии обычно два ограничения, и второе замечают в конце.
  • Берут формулу по памяти, не проверив, выполняется ли её условие в этой задаче.
  • Не сверяют полученный ответ с вопросом: величина верная, но спрашивали другую.

Это про тебя?

Это не наши слова: так пишут сами выпускники. Три причины бросить подготовку — и что с ними делает эта страница.

  • «ничего не успевает ни смотреть, ни прорешивать, для неё большой объём оказался»Здесь не весь курс: одна линия, пять ступеней и десять примеров. Это один вечер, а не «выучить всё к июню».
  • «лучше с дедлайнами»Срок ставит «Ранг»: после бесплатного теста появляется план на неделю по твоим провалённым номерам. Держаться чужого срока проще, чем заставлять себя самому.
  • «Много воды, много времени отнимают беспонтовые шутки»Воды нет: разбор, пример, ошибка — и следующая задача. Ни вебинаров на три часа, ни «мотивации» между делом.

Проверить себя на задании 15

Откроется тренировочное задание этой линии: условие видно сразу, краткий ответ проверяется без регистрации.

Решить в тренажёре

Не знаешь, с какой линии начинать? Пройди бесплатный тест — 10 минут, без регистрации

Частые вопросы про задание 15 ЕГЭ по математике (профиль)

Сколько баллов даёт задание 15 и за что их снимают?
Наибольший балл линии — 2. Его ставят за полное обоснованное решение; за решение с одной поправимой оплошностью дают меньше, а ответ без решения оценивается нулём. Все ступени шкалы разобраны в блоке «За что ставят баллы» на этой странице.
Как решать задание 15 ЕГЭ по математике (профиль)?
Прочитай вопрос до конца и отметь, что требуется в ответе: развёрнутый ответ. Дальше — выписать данные, выбрать правило темы «Неравенства повышенной сложности» и проверить ограничения. Полный порядок из пяти ступеней и 10 разобранных примеров — на этой странице.
Что проверяет задание 15 ЕГЭ по математике (профиль)?
Линия 15 кодификатора: «Неравенства повышенной сложности». Проверяемые темы: неравенства. В ответе требуется развёрнутый ответ; уровень линии — повышенный уровень.
Это официальные задания ФИПИ?
Нет. На странице авторские тренировочные задания в формате ЕГЭ с собственными формулировками и разбором. Формулировка проверяемой линии приведена по кодификатору и спецификации ФИПИ 2026/2027.
Где потренироваться на задании 15?
Кнопка «Решить в тренажёре» на этой странице ведёт в тренажёр «Ранга»: условие открыто, краткий ответ проверяется сразу, регистрация для первой задачи не нужна.

Соседние задания

Номера экзамена идут подряд, и подготовка идёт так же. Рядом — разборы соседних номеров этого предмета: то же устройство страницы, другая тема и другой порядок решения.

Читать дальше в блоге «Ранга»

Все статьи блога «Ранга» о подготовке к ЕГЭ — расписание, шкалы перевода баллов, планы подготовки и разборы для родителей.

Задания на странице — авторские тренировочные, в формате ЕГЭ. Это не официальные задания ФИПИ и не их копии. Формулировки линий приведены по кодификатору и спецификации ФИПИ 2026/2027; перед индексацией страницы сведения сверяются с публикациями ФИПИ и Рособрнадзора. Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.