Математика (профиль), задание 13 ЕГЭ: что проверяет и как решать

Запрос «ЕГЭ математика профиль задание 13 как решать» — про это. Линия 13 проверяет тему «Тригонометрия». Ниже — порядок решения из пяти ступеней, 10 авторских примеров с ответом и разбором, а также ошибки, на которых чаще всего теряют этот номер.

Пройти бесплатный тест — 10 минут

Что проверяет задание 13

Предмет
Математика (профиль)
Линия кодификатора
13 — Тригонометрия
Что проверяют по школьной программе
пункт 2.8 перечня проверяемых знаний
Что нужно уметь
пункт 2.8 перечня требований к выпускнику
Что писать в ответе
развёрнутый ответ
Уровень линии
повышенный уровень
Темы
тригонометрия
Источник формулировки
кодификатор и спецификация ФИПИ 2026/2027 — официальные документы экзамена этого года

Как решать задание 13: пять ступеней

  1. Прочитай вопрос до конца и отметь, что требуется в ответе: развёрнутый ответ.
  2. Выпиши данные условия и отметь, чего не хватает. Тема линии — «Тригонометрия»; работай в её понятиях: тригонометрия.
  3. Выбери правило или алгоритм темы. Если правил несколько, проверь условие применимости каждого — это и отделяет верное решение от «похожего».
  4. Выполни действие и проверь ограничения: знак, диапазон, единицы, число объектов. Промежуточные величины не округляй.
  5. Запиши решение целиком: каждый переход с объяснением, а в конце — отдельной строкой ответ. Балл ставят за обоснование, а не за итог.

За что ставят баллы в задании 13

Это задание второй части: работу читает эксперт и ставит баллы по шкале экзамена 2026/2027 года. Наибольший балл линии — 2. Проверяют не совпадение итога, а решение целиком, поэтому каждый переход нужно объяснить.

2 из 2
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: и само уравнение решено, и корни отобраны на указанном отрезке.
1 из 2
Обоснованно получен верный ответ ровно в одном пункте — либо уравнение решено верно, но отбор корней не сделан или сделан с ошибкой, либо отбор верен при неверно решённом уравнении.
0 из 2
Решение не отвечает ни одному из условий выше. Сюда же попадает верный ответ без решения: проверяющий читает обоснование, а не только последнюю строку.

10 авторских примеров из банка «Ранга»

Условия составлены «Рангом», ответ у каждого примера посчитан и проверен вторым, независимым способом. Сначала реши — потом раскрой разбор.

Пример 1

а) Решите уравнение 2cos²x − 7cos x + 3 = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π]. Запишите корни пункта б в порядке возрастания через точку с запятой.

Показать ответ и разбор

Ответ: 5π/3; 7π/3; 11π/3; 13π/3

  1. Шаг 1. Обозначь y = cos x. Уравнение становится квадратным: 2y² − 7y + 3 = 0.
  2. Шаг 2. Найди корни замены: y = 1/2 и y = 3.
  3. Шаг 3. Отбрось посторонний корень: косинус не бывает по модулю больше единицы, поэтому y = 3 не подходит. Остаётся cos x = 1/2.
  4. Шаг 4. Выпиши семейство корней: x = ±π/3 + 2πk, где k — целое. Отбери те, что попали на отрезок [π; 5π]: 5π/3; 7π/3; 11π/3; 13π/3.
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (подстановка каждой точки отрезка в исходное уравнение точным счётом и численный поиск корней по смене знака): оба дают 5π/3; 7π/3; 11π/3; 13π/3.

Как сделан пример: условие собрано по авторскому образцу этой линии, ответ посчитан и сверен вторым способом. Авторское тренировочное задание, не задание ФИПИ.

Пример 2

а) Решите уравнение 2cos²x + 7cos x − 4 = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−4π; 0]. Запишите корни пункта б в порядке возрастания через точку с запятой.

Показать ответ и разбор

Ответ: −11π/3; −7π/3; −5π/3; −π/3

  1. Шаг 1. Обозначь y = cos x. Уравнение становится квадратным: 2y² + 7y − 4 = 0.
  2. Шаг 2. Найди корни замены: y = 1/2 и y = −4.
  3. Шаг 3. Отбрось посторонний корень: косинус не бывает по модулю больше единицы, поэтому y = −4 не подходит. Остаётся cos x = 1/2.
  4. Шаг 4. Выпиши семейство корней: x = ±π/3 + 2πk, где k — целое. Отбери те, что попали на отрезок [−4π; 0]: −11π/3; −7π/3; −5π/3; −π/3.
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (подстановка каждой точки отрезка в исходное уравнение точным счётом и численный поиск корней по смене знака): оба дают −11π/3; −7π/3; −5π/3; −π/3.

Как сделан пример: условие собрано по авторскому образцу этой линии, ответ посчитан и сверен вторым способом. Авторское тренировочное задание, не задание ФИПИ.

Пример 3

а) Решите уравнение 2cos²x − 7cos x + 3 = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 6π]. Запишите корни пункта б в порядке возрастания через точку с запятой.

Показать ответ и разбор

Ответ: 7π/3; 11π/3; 13π/3; 17π/3

  1. Шаг 1. Обозначь y = cos x. Уравнение становится квадратным: 2y² − 7y + 3 = 0.
  2. Шаг 2. Найди корни замены: y = 1/2 и y = 3.
  3. Шаг 3. Отбрось посторонний корень: косинус не бывает по модулю больше единицы, поэтому y = 3 не подходит. Остаётся cos x = 1/2.
  4. Шаг 4. Выпиши семейство корней: x = ±π/3 + 2πk, где k — целое. Отбери те, что попали на отрезок [2π; 6π]: 7π/3; 11π/3; 13π/3; 17π/3.
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (подстановка каждой точки отрезка в исходное уравнение точным счётом и численный поиск корней по смене знака): оба дают 7π/3; 11π/3; 13π/3; 17π/3.

Как сделан пример: условие собрано по авторскому образцу этой линии, ответ посчитан и сверен вторым способом. Авторское тренировочное задание, не задание ФИПИ.

Пример 4

а) Решите уравнение 2cos²x + 3cos x − 2 = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−4π; 0]. Запишите корни пункта б в порядке возрастания через точку с запятой.

Показать ответ и разбор

Ответ: −11π/3; −7π/3; −5π/3; −π/3

  1. Шаг 1. Обозначь y = cos x. Уравнение становится квадратным: 2y² + 3y − 2 = 0.
  2. Шаг 2. Найди корни замены: y = 1/2 и y = −2.
  3. Шаг 3. Отбрось посторонний корень: косинус не бывает по модулю больше единицы, поэтому y = −2 не подходит. Остаётся cos x = 1/2.
  4. Шаг 4. Выпиши семейство корней: x = ±π/3 + 2πk, где k — целое. Отбери те, что попали на отрезок [−4π; 0]: −11π/3; −7π/3; −5π/3; −π/3.
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (подстановка каждой точки отрезка в исходное уравнение точным счётом и численный поиск корней по смене знака): оба дают −11π/3; −7π/3; −5π/3; −π/3.

Как сделан пример: условие собрано по авторскому образцу этой линии, ответ посчитан и сверен вторым способом. Авторское тренировочное задание, не задание ФИПИ.

Пример 5

а) Решите уравнение 2cos²x − 7cos x − 4 = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; 4π]. Запишите корни пункта б в порядке возрастания через точку с запятой.

Показать ответ и разбор

Ответ: 2π/3; 4π/3; 8π/3; 10π/3

  1. Шаг 1. Обозначь y = cos x. Уравнение становится квадратным: 2y² − 7y − 4 = 0.
  2. Шаг 2. Найди корни замены: y = −1/2 и y = 4.
  3. Шаг 3. Отбрось посторонний корень: косинус не бывает по модулю больше единицы, поэтому y = 4 не подходит. Остаётся cos x = −1/2.
  4. Шаг 4. Выпиши семейство корней: x = ±2π/3 + 2πk, где k — целое. Отбери те, что попали на отрезок [0; 4π]: 2π/3; 4π/3; 8π/3; 10π/3.
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (подстановка каждой точки отрезка в исходное уравнение точным счётом и численный поиск корней по смене знака): оба дают 2π/3; 4π/3; 8π/3; 10π/3.

Как сделан пример: условие собрано по авторскому образцу этой линии, ответ посчитан и сверен вторым способом. Авторское тренировочное задание, не задание ФИПИ.

Пример 6

а) Решите уравнение 2cos²x − 5cos x + 2 = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π]. Запишите корни пункта б в порядке возрастания через точку с запятой.

Показать ответ и разбор

Ответ: 5π/3; 7π/3; 11π/3; 13π/3

  1. Шаг 1. Обозначь y = cos x. Уравнение становится квадратным: 2y² − 5y + 2 = 0.
  2. Шаг 2. Найди корни замены: y = 1/2 и y = 2.
  3. Шаг 3. Отбрось посторонний корень: косинус не бывает по модулю больше единицы, поэтому y = 2 не подходит. Остаётся cos x = 1/2.
  4. Шаг 4. Выпиши семейство корней: x = ±π/3 + 2πk, где k — целое. Отбери те, что попали на отрезок [π; 5π]: 5π/3; 7π/3; 11π/3; 13π/3.
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (подстановка каждой точки отрезка в исходное уравнение точным счётом и численный поиск корней по смене знака): оба дают 5π/3; 7π/3; 11π/3; 13π/3.

Как сделан пример: условие собрано по авторскому образцу этой линии, ответ посчитан и сверен вторым способом. Авторское тренировочное задание, не задание ФИПИ.

Пример 7

а) Решите уравнение 2cos²x + 7cos x + 3 = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−6π; −2π]. Запишите корни пункта б в порядке возрастания через точку с запятой.

Показать ответ и разбор

Ответ: −16π/3; −14π/3; −10π/3; −8π/3

  1. Шаг 1. Обозначь y = cos x. Уравнение становится квадратным: 2y² + 7y + 3 = 0.
  2. Шаг 2. Найди корни замены: y = −1/2 и y = −3.
  3. Шаг 3. Отбрось посторонний корень: косинус не бывает по модулю больше единицы, поэтому y = −3 не подходит. Остаётся cos x = −1/2.
  4. Шаг 4. Выпиши семейство корней: x = ±2π/3 + 2πk, где k — целое. Отбери те, что попали на отрезок [−6π; −2π]: −16π/3; −14π/3; −10π/3; −8π/3.
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (подстановка каждой точки отрезка в исходное уравнение точным счётом и численный поиск корней по смене знака): оба дают −16π/3; −14π/3; −10π/3; −8π/3.

Как сделан пример: условие собрано по авторскому образцу этой линии, ответ посчитан и сверен вторым способом. Авторское тренировочное задание, не задание ФИПИ.

Пример 8

а) Решите уравнение 2cos²x + 3cos x − 2 = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−6π; −2π]. Запишите корни пункта б в порядке возрастания через точку с запятой.

Показать ответ и разбор

Ответ: −17π/3; −13π/3; −11π/3; −7π/3

  1. Шаг 1. Обозначь y = cos x. Уравнение становится квадратным: 2y² + 3y − 2 = 0.
  2. Шаг 2. Найди корни замены: y = 1/2 и y = −2.
  3. Шаг 3. Отбрось посторонний корень: косинус не бывает по модулю больше единицы, поэтому y = −2 не подходит. Остаётся cos x = 1/2.
  4. Шаг 4. Выпиши семейство корней: x = ±π/3 + 2πk, где k — целое. Отбери те, что попали на отрезок [−6π; −2π]: −17π/3; −13π/3; −11π/3; −7π/3.
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (подстановка каждой точки отрезка в исходное уравнение точным счётом и численный поиск корней по смене знака): оба дают −17π/3; −13π/3; −11π/3; −7π/3.

Как сделан пример: условие собрано по авторскому образцу этой линии, ответ посчитан и сверен вторым способом. Авторское тренировочное задание, не задание ФИПИ.

Пример 9

а) Решите уравнение 2cos²x − 5cos x − 3 = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; 4π]. Запишите корни пункта б в порядке возрастания через точку с запятой.

Показать ответ и разбор

Ответ: 2π/3; 4π/3; 8π/3; 10π/3

  1. Шаг 1. Обозначь y = cos x. Уравнение становится квадратным: 2y² − 5y − 3 = 0.
  2. Шаг 2. Найди корни замены: y = −1/2 и y = 3.
  3. Шаг 3. Отбрось посторонний корень: косинус не бывает по модулю больше единицы, поэтому y = 3 не подходит. Остаётся cos x = −1/2.
  4. Шаг 4. Выпиши семейство корней: x = ±2π/3 + 2πk, где k — целое. Отбери те, что попали на отрезок [0; 4π]: 2π/3; 4π/3; 8π/3; 10π/3.
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (подстановка каждой точки отрезка в исходное уравнение точным счётом и численный поиск корней по смене знака): оба дают 2π/3; 4π/3; 8π/3; 10π/3.

Как сделан пример: условие собрано по авторскому образцу этой линии, ответ посчитан и сверен вторым способом. Авторское тренировочное задание, не задание ФИПИ.

Пример 10

а) Решите уравнение 2cos²x − 5cos x + 2 = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−6π; −2π]. Запишите корни пункта б в порядке возрастания через точку с запятой.

Показать ответ и разбор

Ответ: −17π/3; −13π/3; −11π/3; −7π/3

  1. Шаг 1. Обозначь y = cos x. Уравнение становится квадратным: 2y² − 5y + 2 = 0.
  2. Шаг 2. Найди корни замены: y = 1/2 и y = 2.
  3. Шаг 3. Отбрось посторонний корень: косинус не бывает по модулю больше единицы, поэтому y = 2 не подходит. Остаётся cos x = 1/2.
  4. Шаг 4. Выпиши семейство корней: x = ±π/3 + 2πk, где k — целое. Отбери те, что попали на отрезок [−6π; −2π]: −17π/3; −13π/3; −11π/3; −7π/3.
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (подстановка каждой точки отрезка в исходное уравнение точным счётом и численный поиск корней по смене знака): оба дают −17π/3; −13π/3; −11π/3; −7π/3.

Как сделан пример: условие собрано по авторскому образцу этой линии, ответ посчитан и сверен вторым способом. Авторское тренировочное задание, не задание ФИПИ.

Типичные ошибки в задании 13

  • Пишут только ответ. Во второй части балл ставят за решение: без выкладок верный ответ оценивается нулём.
  • Делают замену переменной и не возвращаются к исходной — решение обрывается на середине, хотя спрашивали про неё.
  • Не проверяют, подходят ли найденные значения по смыслу: посторонние корни замены остаются в ответе.
  • Теряют или лишний раз включают граничные точки — знак «строго» и «нестрого» на границе меняет ответ.
  • Отвечают на пункт а) и забывают про пункт б): отбор на отрезке — самостоятельная половина задания со своим баллом.
  • Начинают решать раньше, чем выписали все данные: на повышенном уровне в условии обычно два ограничения, и второе замечают в конце.
  • Берут формулу по памяти, не проверив, выполняется ли её условие в этой задаче.
  • Не сверяют полученный ответ с вопросом: величина верная, но спрашивали другую.

Это про тебя?

Это не наши слова: так пишут сами выпускники. Три причины бросить подготовку — и что с ними делает эта страница.

  • «ничего не успевает ни смотреть, ни прорешивать, для неё большой объём оказался»Здесь не весь курс: одна линия, пять ступеней и десять примеров. Это один вечер, а не «выучить всё к июню».
  • «лучше с дедлайнами»Срок ставит «Ранг»: после бесплатного теста появляется план на неделю по твоим провалённым номерам. Держаться чужого срока проще, чем заставлять себя самому.
  • «Много воды, много времени отнимают беспонтовые шутки»Воды нет: разбор, пример, ошибка — и следующая задача. Ни вебинаров на три часа, ни «мотивации» между делом.

Проверить себя на задании 13

Откроется тренировочное задание этой линии: условие видно сразу, краткий ответ проверяется без регистрации.

Решить в тренажёре

Не знаешь, с какой линии начинать? Пройди бесплатный тест — 10 минут, без регистрации

Частые вопросы про задание 13 ЕГЭ по математике (профиль)

Сколько баллов даёт задание 13 и за что их снимают?
Наибольший балл линии — 2. Его ставят за полное обоснованное решение; за решение с одной поправимой оплошностью дают меньше, а ответ без решения оценивается нулём. Все ступени шкалы разобраны в блоке «За что ставят баллы» на этой странице.
Егэ математика профиль задание 13 как решать?
Прочитай вопрос до конца и отметь, что требуется в ответе: развёрнутый ответ. Дальше — выписать данные, выбрать правило темы «Тригонометрия» и проверить ограничения. Полный порядок из пяти ступеней и 10 разобранных примеров — на этой странице.
Что проверяет задание 13 ЕГЭ по математике (профиль)?
Линия 13 кодификатора: «Тригонометрия». Проверяемые темы: тригонометрия. В ответе требуется развёрнутый ответ; уровень линии — повышенный уровень.
Это официальные задания ФИПИ?
Нет. На странице авторские тренировочные задания в формате ЕГЭ с собственными формулировками и разбором. Формулировка проверяемой линии приведена по кодификатору и спецификации ФИПИ 2026/2027.
Где потренироваться на задании 13?
Кнопка «Решить в тренажёре» на этой странице ведёт в тренажёр «Ранга»: условие открыто, краткий ответ проверяется сразу, регистрация для первой задачи не нужна.

Соседние задания

Номера экзамена идут подряд, и подготовка идёт так же. Рядом — разборы соседних номеров этого предмета: то же устройство страницы, другая тема и другой порядок решения.

Читать дальше в блоге «Ранга»

Все статьи блога «Ранга» о подготовке к ЕГЭ — расписание, шкалы перевода баллов, планы подготовки и разборы для родителей.

Задания на странице — авторские тренировочные, в формате ЕГЭ. Это не официальные задания ФИПИ и не их копии. Формулировки линий приведены по кодификатору и спецификации ФИПИ 2026/2027; перед индексацией страницы сведения сверяются с публикациями ФИПИ и Рособрнадзора. Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.