12 задание ЕГЭ математика профиль: как решать

Кому: выпускнику · Обновлено 2026-10-25

Раздел: Математика (профиль) · Тема: Разборы заданий по номерам · Задание 12

В 12 задании профильной математики нужно найти наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке (или точку экстремума). Решение строится по одному алгоритму: производная, критические точки, сравнение значений. Ниже — шаги, три разобранных примера (логарифм, тригонометрия, экспонента), типичные ошибки и способ проверить себя.

Решить задание в тренажёре

Что проверяет задание № 12 и какой ответ нужен

Задание относится к блоку «Функции: формулы зависимостей, свойства и графики». Ответ — число (целое или конечная десятичная дробь), поэтому запись решения не оценивается: важен только верный итог. Отсюда вывод: аккуратность в вычислениях здесь важнее красивого оформления.

Сначала прочитай, что именно спрашивают. Формулировок две: «найди наибольшее (наименьшее) значение функции» — тогда в ответ идёт значение y, и «найди точку максимума (минимума)» — тогда нужен x. Путаница между ними — одна из частых причин потери задания.

Как решать 12 задание: алгоритм по шагам

Для функции на отрезке [a; b] работает один и тот же порядок действий. Держи его в голове как чек-лист.

• Выпиши область определения функции (знаменатель не равен нулю, под логарифмом положительное выражение, под корнем неотрицательное) и убедись, что отрезок в неё входит.
• Найди производную. Аккуратно применяй правила: производная суммы, произведения, частного, сложной функции.
• Приравняй производную к нулю и реши уравнение. Добавь точки, где производная не существует, если они лежат внутри отрезка.
• Оставь только корни, принадлежащие отрезку [a; b]. Корень вне отрезка отбрасывается.
• Вычисли значение функции в оставшихся точках и на концах отрезка.
• Из полученных чисел выбери наибольшее или наименьшее — в зависимости от вопроса.

Быстрый путь: знаки производной

Если на отрезке один критический точка, не обязательно считать значения на концах. Достаточно определить знаки производной слева и справа от неё. Смена знака с плюса на минус — это максимум, с минуса на плюс — минимум. Если эта точка единственная на отрезке и она — максимум, то именно в ней достигается наибольшее значение функции на этом отрезке.

Тот же приём работает с графиком. Если в условии дан график производной, то точки экстремума функции — это нули производной со сменой знака, а промежутки возрастания — там, где график производной выше оси x.

12 задание ЕГЭ математика профиль: логарифмы

Пример: найди наименьшее значение функции y = 4x − 4·ln(x + 5) + 7 на отрезке [−4,5; 0].

Область определения: x + 5 > 0, отрезок в неё входит. Производная: y' = 4 − 4/(x + 5) = 4(x + 4)/(x + 5). Она равна нулю при x = −4, эта точка лежит на отрезке. Левее неё производная отрицательна, правее — положительна, значит, это точка минимума.

Считаем значение: y(−4) = −16 − 4·ln 1 + 7 = −16 − 0 + 7 = −9. Ответ: −9. Здесь важно помнить, что ln 1 = 0, и что производная ln(u) равна u'/u.

12 задание ЕГЭ математика профиль: тригонометрия

Пример: найди наибольшее значение функции y = 12·cos x + 6√3·x − 2√3·π + 6 на отрезке [0; π/2].

Производная: y' = −12·sin x + 6√3. Из y' = 0 получаем sin x = √3/2, на отрезке подходит x = π/3. До этой точки производная положительна, после — отрицательна: это максимум.

Подставляем: y(π/3) = 12·(1/2) + 6√3·π/3 − 2√3·π + 6 = 6 + 2√3·π − 2√3·π + 6 = 12. Ответ: 12. Заметь: слагаемые с π сократились — в этом задании так задумано, и если у тебя остался «некрасивый» остаток с π, ищи ошибку в арифметике.

Напомню производные, которые нужны чаще всего: (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x, (tg x)' = 1/cos²x.

Показательные функции и типичные ошибки

Пример: найди наименьшее значение функции y = (x − 3)·e^(x − 2) на отрезке [1; 3]. По правилу произведения y' = e^(x − 2)·(1 + x − 3) = e^(x − 2)·(x − 2). Множитель e^(x − 2) всегда положителен, поэтому знак производной задаёт скобка (x − 2). Нуль в точке x = 2, знак меняется с минуса на плюс — минимум. y(2) = (−1)·e^0 = −1. Ответ: −1.

Какие ошибки встречаются чаще всего:

• Корень производной не лежит на отрезке, но его всё равно подставляют в функцию.
• Ищут значение функции, а в ответ пишут x (или наоборот).
• Забывают проверить концы отрезка, когда критических точек несколько или производная не меняет знак.
• Ошибка в знаке при дифференцировании сложной функции: забыт множитель u'.
• Арифметика с ln 1, e^0, sin и cos табличных углов.

Как проверить себя и где тренироваться

Проверка занимает минуту. Во-первых, подставь найденную точку в производную: должен получиться нуль. Во-вторых, посмотри знаки производной слева и справа: тип экстремума должен совпасть с тем, о чём спрашивали. В-третьих, оцени ответ: значения на концах отрезка прикинь грубо и убедись, что твой результат не выходит за разумные рамки.

Нужен свой банк задач с проверкой ответа — решай серию однотипных заданий подряд, сначала с логарифмами, потом с тригонометрией и экспонентой. В тренажёре «Ранга» есть подборка заданий № 12 с проверкой ответа. Формат и тип заданий этого года смотри в демоверсии на сайте ФИПИ (fipi.ru): там же публикуют спецификацию и кодификатор, по которым стоит сверять темы.

Материал — разъяснение «Ранг». Официальные правила экзамена, расписание, шкалы баллов и перечни заданий публикуют ФИПИ (fipi.ru) и Рособрнадзор (obrnadzor.gov.ru). Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.