11 задание ЕГЭ по математике (профиль): как решать

Кому: выпускнику · Обновлено 2026-10-25

Раздел: Математика (профиль) · Тема: Разборы заданий по номерам · Задание 11

Чтобы решить задание № 11 профильного ЕГЭ по математике, переведи условие в уравнение: выбери неизвестную, вырази связанные величины и запиши их равенство. Здесь разберём текстовые задачи на движение, работу и проценты: какие формулы нужны, как учитывать ограничения и как проверять полученный ответ.

Решить задание в тренажёре

Что нужно знать про задание № 11

В каталоге «Ранга» задание № 11 посвящено текстовым задачам на движение, работу и проценты. Главная трудность здесь — составить математическую модель. Ты должен понять, какие величины одинаковы, какие различаются и что именно требуется найти. Уравнение появляется после этого, а не вместо чтения условия.

Не ориентируйся только на номер в поисковой выдаче. Если тебе попался материал про параболу, гиперболу или тригонометрию, проверь, к какой теме и версии экзамена он относится. Для текстовой задачи нужны зависимости между расстоянием, временем, скоростью, объёмом работы и долями величины.

Актуальность проверяй по документам ФИПИ: открой раздел ЕГЭ, затем демоверсии, спецификации и кодификаторы, выбери профильную математику нужного года. В демоверсии посмотри формулировку задания, в спецификации — проверяемые умения, в кодификаторе — содержание. Пока документы следующего года не опубликованы, используй материалы текущего года, а после публикации сравни требования.

• Сначала установи тему по условию, затем выбирай способ решения.
• Отмечай слова «вместе», «на столько-то раньше», «после изменения»: они задают связь между величинами.
• Перед вычислениями выпиши вопрос задачи отдельно, чтобы не найти промежуточную величину вместо ответа.

11 задание ЕГЭ по математике, профиль: теория и алгоритм

У трёх основных сюжетов похожая структура. При движении расстояние равно произведению скорости и времени: S = vt. При работе объём равен произведению производительности и времени: A = pt. В процентах новая величина получается умножением исходной на коэффициент изменения. Эти зависимости позволяют выразить несколько величин через одну неизвестную.

Выбирай неизвестную так, чтобы формулы оставались понятными. Если требуется скорость, удобно обозначить её x. Тогда время прохождения расстояния S равно S/x. Если известна продолжительность работы одного исполнителя, его производительность выражается как доля всей работы за единицу времени.

До решения запиши ограничения: время и скорость положительны, знаменатели не равны нулю. Если одна скорость выражена как x − a, необходимо x > a. После решения проверь каждый корень по этим условиям и по исходному тексту.

• Приведи время, расстояние и скорость к согласованным единицам.
• Обозначь неизвестную и подпиши, что она означает.
• Вырази остальные величины через неизвестную.
• Найди условие для уравнения: равные расстояния, разность времени, общий объём работы или итоговую стоимость.
• Реши уравнение, проверь ограничения и вычисли именно то, о чём спрашивают.

Разбор 11 задания ЕГЭ по математике: движение

В задачах на движение сначала установи, что происходит со временем. Если участники одновременно стартовали и встретились, продолжительность движения до встречи одинакова. Если они прошли один маршрут с разными скоростями, одинаковы расстояния. Если один прибыл раньше, связывать нужно времена прохождения маршрута.

Рассмотрим модель: два участника проходят расстояние S, скорость первого равна x, второго — x + a. Первый тратит на d часов больше. Их времена равны S/x и S/(x + a), поэтому уравнение имеет вид S/x − S/(x + a) = d. После приведения к общему знаменателю получаем Sa = dx(x + a). Дальше решаем квадратное уравнение и оставляем допустимую скорость.

Проверка должна восстановить ситуацию: подставь найденные скорости в формулы времени и убедись, что разность составляет d. Если перепутать порядок вычитания, получится отрицательная разность, хотя более медленный участник должен затратить больше времени.

Для движения по реке отдельно обозначай собственную скорость и скорость течения. При движении по течению они складываются, против течения — вычитаются. Время на двух участках рассчитывай отдельно.

• При сближении навстречу скорость сокращения расстояния равна сумме скоростей.
• При движении в одном направлении скорость сближения равна разности скоростей, если догоняющий быстрее.
• Средняя скорость равна всему пути, делённому на всё время; среднее арифметическое скоростей подходит не всегда.
• Минуты переводи в часы до подстановки, если скорость дана в километрах в час.

Как решать задачи на работу и производительность

Если объём работы не указан и важны только сроки, прими всю работу за 1. Исполнитель, который выполняет её за a часов, за час делает 1/a работы. Второй исполнитель с временем b часов делает 1/b. При одновременной независимой работе их производительности складываются.

Пусть оба работают вместе t часов и за это время завершают задание. Получаем t(1/a + 1/b) = 1. Отсюда время совместной работы t = ab/(a + b). Складывать сроки a и b нельзя: складываются выполненные за час доли работы.

Если один исполнитель начал раньше, раздели процесс на этапы. За первые h часов он сделал h/a работы. Затем оба за t часов сделали t/a + t/b. Уравнение завершения работы: h/a + t/a + t/b = 1. Проверь, входит ли предварительный этап в время, которое требуется найти.

Когда в условии даны детали, страницы или объём резервуара, можно сохранить реальные единицы. Производительность тогда измеряется в деталях за час или объёме за минуту.

• Подпиши, какую долю работы каждый выполняет за единицу времени.
• Для каждого этапа умножай производительность на его продолжительность.
• Учитывай перерывы и моменты подключения участников.
• При обычной совместной работе двух исполнителей итоговое время должно быть меньше времени каждого по отдельности.

Проценты: как выбрать основание и составить уравнение

Процент всегда берётся от определённой величины. Перед вычислением спроси себя: что здесь принято за целое? Снижение цены считают от цены до снижения, а очередное изменение — от величины, полученной на предыдущем шаге. Потеря основания процента приводит к неверной модели даже при аккуратной арифметике.

Увеличение на p% означает умножение на 1 + p/100. Уменьшение на p% — умножение на 1 − p/100. Если исходная величина x последовательно изменилась на два коэффициента k1 и k2, итог равен x · k1 · k2. Проценты последовательных изменений нельзя просто складывать.

При увеличении и последующем уменьшении на одинаковые p% общий коэффициент равен (1 + p/100)(1 − p/100) = 1 − (p/100)². Поэтому исходная величина не восстанавливается. Проверять такой результат нужно последовательными действиями, сохраняя новое основание на каждом шаге.

Если известна итоговая величина B, а исходная неизвестна, составь уравнение x · k = B и раздели B на коэффициент. Вычитание того же процента из итоговой суммы не отменяет предыдущее увеличение.

• Рядом с каждым процентом подпиши величину, от которой его считают.
• Различай изменение на p% и изменение до p% от исходного значения.
• При нескольких изменениях перемножай коэффициенты.
• Не округляй промежуточные значения без необходимости.

Шпаргалка: проверка ответа и тренировка

Проверка начинается с единиц измерения. Если ты искал время, результат должен выражаться во времени. Затем проверь смысл: положительна ли скорость, достаточно ли выполненной работы, соответствует ли новая цена направлению изменения. Наконец, подставь результат в исходные зависимости, а не только в преобразованное уравнение.

Отдельно проверяй формат ответа. В задаче могут спрашивать скорость второго участника, хотя за x ты принял скорость первого. Число из последней строки решения переносить автоматически нельзя: перечитай вопрос и при необходимости выполни заключительное действие.

Для тренировки в «Ранге» выбери задания № 11 с проверкой ответа. Сначала решай задачи одного типа, затем перемешай движение, работу и проценты. После ошибки записывай её причину: неверное основание процента, перепутанная разность времени, пропущенный этап или арифметическая неточность. Следующую задачу выбирай на тот же трудный шаг.

• Движение: S = vt, время t = S/v.
• Работа: A = pt; при целом объёме 1 производительность равна 1/t.
• Проценты: итог = исходная величина · коэффициент изменения.
• Перед ответом: ограничения, единицы, подстановка, вопрос задачи.

Материал — разъяснение «Ранг». Официальные правила экзамена, расписание, шкалы баллов и перечни заданий публикуют ФИПИ (fipi.ru) и Рособрнадзор (obrnadzor.gov.ru). Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.