5 задание ЕГЭ математика профиль: все типы и как решать

Кому: выпускнику · Обновлено 2026-10-25

Раздел: Математика (профиль) · Тема: Разборы заданий по номерам · Задание 5

В задании № 5 профильной математики нужно найти вероятность события: по условию определяешь, какая формула нужна, и считаешь. Почти все задачи сводятся к четырём приёмам: классическое определение, умножение вероятностей независимых событий, сложение вероятностей несовместных событий и переход к противоположному событию. Ниже разобраны все типы, включая стрелков, автоматы с кофе и батарейки, и дан порядок действий, который снижает число случайных ошибок.

Решить задание в тренажёре

Что проверяет 5 задание: теория вероятности в минимуме

Задание № 5 относится к теории вероятностей и элементам комбинаторики. Ответ — число, обычно десятичная дробь. Сложных вычислений здесь нет, главное — правильно понять условие и выбрать формулу.

Теории нужно немного, и её можно выучить за один вечер. Остальное — тренировка на разных формулировках, потому что одна и та же формула в условии выглядит по-разному: то про стрелков, то про лампочки, то про такси.

• Классическая вероятность: P = m / n, где n — число всех равновозможных исходов, m — число благоприятных.
• Противоположное событие: P(не A) = 1 − P(A).
• Независимые события: P(A и B) = P(A) · P(B).
• Несовместные события: P(A или B) = P(A) + P(B).
• Любые события: P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B).
• Формула полной вероятности: если есть несколько взаимоисключающих «сценариев», вероятность события равна сумме произведений «вероятность сценария × вероятность события в этом сценарии».

Все типы 5 задания ЕГЭ математика профиль

Если коротко, то в задании № 5 встречаются такие группы задач. Узнавай тип по формулировке — и формула подберётся сама.

• Монеты, кубики, карточки, лотерея. Считаешь исходы и берёшь m / n. Пример: монету бросают три раза, нужно найти вероятность ровно двух орлов. Всего 8 исходов, благоприятных 3, ответ 0,375. Для двух кубиков всего 36 исходов — составь таблицу сумм.
• Стрелки и независимые попадания. Результаты не влияют друг на друга, поэтому вероятности перемножаются. Когда спрашивают «ровно одно попадание», раскладываешь на два несовместных случая и складываешь.
• «Хотя бы один». Проще искать противоположное событие: 1 − (произведение вероятностей «ни одного»).
• Автоматы с кофе и похожие задачи. Даны вероятности события в каждом устройстве и вероятность одновременного наступления. Применяешь формулу сложения для любых событий.
• Батарейки, детали, брак. Есть вероятность брака и вероятность, что проверка ошибается. Решается полной вероятностью по сценариям «бракованная» и «исправная».
• Две фабрики, два поставщика, два вида продукции. Доли задают вероятности сценариев, дальше полная вероятность.
• Выбор из группы, соревнования, жеребьёвка. Считаешь места или варианты по отношению m / n, иногда с использованием сочетаний.

Как решать 5 задание: алгоритм из пяти шагов

Порядок действий важнее заученных формул. Он защищает от самой частой ошибки — взять формулу «по ощущению».

Прежде чем считать, запиши событие одной фразой своими словами. Часто на этом шаге уже видно, что искать надо противоположное событие.

• Выпиши данные и обозначь события буквами (А — первый стрелок попал, В — второй попал).
• Определи, что спрашивают: одно событие, «и», «или», «хотя бы одно», «ровно одно».
• Проверь, независимы события или нет. Если сказано «независимо» или устройства работают отдельно — умножай.
• Выбери формулу: перемножить, сложить, взять 1 минус или разложить по сценариям.
• Посчитай и проверь, что ответ между 0 и 1 и что он правдоподобен: «хотя бы один» не может быть меньше любой из отдельных вероятностей.

Разбор 5 задания: автоматы с кофе и батарейка

Автоматы с кофе. В торговом центре два автомата. Вероятность того, что к концу дня в первом закончится кофе, равна 0,3; для второго автомата она такая же. Вероятность того, что кофе закончится в обоих, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Сначала находим вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном: 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48. Событие «останется в обоих» противоположное, значит ответ 1 − 0,48 = 0,52. Ошибка здесь — умножить 0,7 на 0,7: события не независимы, это видно по данным (0,3 · 0,3 = 0,09, а в условии 0,12).

Батарейка. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,02. Система контроля отбраковывает бракованную с вероятностью 0,99, а исправную по ошибке с вероятностью 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет отбракована. Сценарий первый: батарейка бракованная и отбракована, 0,02 · 0,99 = 0,0198. Сценарий второй: исправная, но отбракована по ошибке, 0,98 · 0,01 = 0,0098. Складываем: 0,0296.

Принцип у обеих задач общий: сначала расписываешь все пути к нужному результату, потом умножаешь вдоль пути и складываешь между путями. Если сомневаешься, нарисуй дерево вариантов.

Типичные ошибки в задании № 5

Эти промахи встречаются чаще всего, и каждый можно поймать самопроверкой.

• Перемножают вероятности событий, которые зависят друг от друга. Проверка: даёт ли условие вероятность «обоих сразу»? Если да, события, скорее всего, не независимы.
• Складывают вероятности пересекающихся событий и получают больше 1. Ответ вероятности никогда не превышает 1.
• Забывают, что «ровно одно» — это два случая, а не один.
• Путают «хотя бы один» с «ровно один».
• Считают исходы кубиков без учёта порядка: пары (1;2) и (2;1) — разные исходы.
• Теряют запятую или округляют иначе, чем требует условие. Читай, в каком виде записывать ответ.

Шпаргалка и тренировка по материалам ФИПИ

Шпаргалка на задание № 5 помещается на одну страницу: формулы из первого раздела, таблица 36 исходов для двух кубиков, три вопроса из алгоритма. Составь её сам: так запоминается лучше, чем при чтении готовой.

Реальные формулировки смотри на сайте ФИПИ (fipi.ru): там опубликованы демоверсия и открытый банк заданий. Вместе со спецификацией они показывают, как устроена работа и что проверяется в текущем году. Структуру экзамена, число заданий и баллы сверяй только по официальным документам ФИПИ и Рособрнадзора.

Тренироваться лучше пачками по 8–10 задач одного типа, а потом смешанными наборами, чтобы учиться узнавать тип самому. Решай с проверкой ответа: на тренажёре «Ранга» есть задания № 5 с автоматической проверкой, а ещё можно пройти бесплатный тест и увидеть, какие типы пока проседают.

Материал — разъяснение «Ранг». Официальные правила экзамена, расписание, шкалы баллов и перечни заданий публикуют ФИПИ (fipi.ru) и Рособрнадзор (obrnadzor.gov.ru). Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.