ЕГЭ профиль математика задание 6 с нуля: случайная величина

Кому: выпускнику · Обновлено 2026-10-25

Раздел: Математика (профиль) · Тема: Разборы заданий по номерам · Задание 6

В задания «Случайная величина: распределение, математическое ожидание, дисперсия» нужно по таблице вероятностей посчитать одно число: чаще всего матожидание, иногда дисперсию. Решается это в 3–4 действия по двум формулам, и ниже они разобраны с нуля, с алгоритмом и списком типичных ошибок.

Решить задание в тренажёре

6 задание ЕГЭ математика профиль: что в нём проверяют

В тренажёре «Ранг» эта задание называется «Случайная величина: распределение, математическое ожидание, дисперсия». Ответ здесь всегда число: рубли, баллы, количество чего-то или безразмерная величина. Обычно условие подаёт данные в виде таблицы: возможные значения и либо вероятности, либо количество исходов.

Нумерация заданий и их состав меняются от года к году. Поэтому не опирайся на цифру «6» из запроса, а открой актуальную демоверсию на fipi.ru и найди задачу про случайную величину или распределение. Как читать демоверсии, описано в статье про демоверсии ЕГЭ 2027. Только по спецификации и кодификатору ФИПИ можно точно узнать, какие темы входят в экзамен именно в твой год.

6 задание ЕГЭ математика профиль: теория

Нужно понять три понятия и две формулы.

Случайная величина — число, которое зависит от случая: выигрыш по билету, число очков на кубике, число успехов в серии попыток. Распределение — это список всех её возможных значений и вероятность каждого. Главное правило: сумма всех вероятностей равна 1.

Математическое ожидание E(X) — среднее значение величины «в долгую». Считается так: каждое значение умножаешь на его вероятность и складываешь всё. Если в условии даны не вероятности, а числа билетов или исходов, вероятность равна доле: число таких исходов, делённое на общее число.

Дисперсия D(X) показывает разброс значений вокруг среднего. Удобная формула: D(X) = E(X в квадрате) минус (E(X)) в квадрате. Сначала считаешь матожидание, потом матожидание квадратов значений, потом вычитаешь. Стандартное отклонение — это корень из дисперсии.

Алгоритм решения по шагам

Один и тот же порядок действий подходит для большинства задач этой задания.

• Выпиши значения и вероятности в две строки. Если вероятностей нет, найди их как долю от общего числа.
• Не забудь значение, которое в условии не перечислено. Например, «остальные билеты не выигрывают» значит, что есть значение 0 с ненулевой вероятностью. Оно в матожидание ничего не добавляет, но в общем числе исходов учитывается.
• Проверь, что сумма вероятностей равна 1. Если одной вероятности не хватает, найди её как 1 минус сумма остальных.
• Посчитай E(X): значение умножь на вероятность и сложи.
• Если просят дисперсию, посчитай E(X в квадрате) и вычти квадрат матожидания.
• Прочитай вопрос ещё раз: единицы измерения, округление, что именно просят найти.

Разбор 6 задания ЕГЭ математика профиль: дисперсия на маленьком примере

Пусть величина X принимает значения 0, 1 и 2 с вероятностями 0,2, 0,5 и 0,3. Проверяем сумму: 0,2 + 0,5 + 0,3 = 1, всё сходится.

Матожидание: 0 · 0,2 + 1 · 0,5 + 2 · 0,3 = 0,5 + 0,6 = 1,1. Квадраты значений: 0, 1 и 4, поэтому E(X в квадрате) = 0 · 0,2 + 1 · 0,5 + 4 · 0,3 = 0,5 + 1,2 = 1,7. Дисперсия: 1,7 минус 1,1 в квадрате, то есть 1,7 − 1,21 = 0,49.

Полезные свойства, которые экономят время: E(aX + b) = a · E(X) + b. D(aX + b) = a в квадрате · D(X), то есть добавка b на разброс не влияет. Матожидание суммы всегда равно сумме матожиданий. Дисперсии складываются только у независимых величин.

Типичные ошибки

Эти ошибки встречаются чаще остальных. Каждую можно поймать самопроверкой.

• Забыть нулевое значение или потерять невыигрышные билеты при подсчёте общего числа.
• Делить на число выигрышных билетов вместо общего числа билетов.
• Складывать значения, не умножив их на вероятности (получается сумма выигрышей, а не среднее).
• Считать дисперсию как E(X) в квадрате вместо E(X в квадрате). Это разные числа.
• Получить отрицательную дисперсию. Она не может быть меньше нуля, значит, ошибка в вычислениях.
• Не вернуть единицы: если в условии рубли, а ты считал в тысячах, ответ нужно пересчитать.

6 задание ЕГЭ математика профиль: тренажёр и самопроверка

Матожидание должно лежать между наименьшим и наибольшим значением величины. Если получилось число за пределами этого диапазона, ищи ошибку. Ещё один приём: прикинь на глаз, куда «тянет» среднее. Если почти все билеты ничего не выигрывают, матожидание будет намного меньше самого крупного выигрыша.

Для практики решай задачи с готовыми ответами и сверяйся. В тренажёре «Ранг» ответ проверяется сразу, а вводный материал по предмету собран на странице профильной математики. Разумный темп: по 3–4 задачи за подход с разбором каждой ошибки, а через несколько дней вернуться к тем, что не получились.

Эту задание удобно изучать после основ вероятности: если простые события и формулы сложения вероятностей ещё не отработаны, сначала вернись к ним.

6 задание ЕГЭ математика профиль: уравнения, логарифмы и тригонометрия

В запросах к этому номеру часто встречаются слова «уравнения», «логарифмы» и «тригонометрия». Это объясняется тем, что нумерация заданий в разные годы отличалась, и под «шестым» подразумевали разные темы. Задание, о которой эта статья, посвящена случайной величине, а не уравнениям.

Если тебе нужны уравнения, логарифмы или тригонометрия, проверь по демоверсии ФИПИ, под каким номером они стоят в твоём году, и тренируй их по соответствующим разделам. Расписание экзаменов и структура публикуются на fipi.ru и obrnadzor.gov.ru, там же смотри актуальные изменения.

Материал — разъяснение «Ранг». Официальные правила экзамена, расписание, шкалы баллов и перечни заданий публикуют ФИПИ (fipi.ru) и Рособрнадзор (obrnadzor.gov.ru). Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.