7 задание ЕГЭ математика: уравнения и как их решать

Кому: выпускнику · Обновлено 2026-10-25

Раздел: Математика (профиль) · Тема: Разборы заданий по номерам · Задание 7

В задания «Уравнения, неравенства и системы» нужно найти число: корень уравнения, решение неравенства или системы. Решай по шагам: определи тип уравнения, приведи его к простому виду, найди корень и подставь его обратно. Ниже даны теория, алгоритм, типичные ошибки и способы самопроверки.

Решить задание в тренажёре

Что проверяет 7 задание ЕГЭ по математике (профиль)

В кодификаторе «Ранга» это задание «Уравнения, неравенства и системы» базового уровня, ответ — число. Тебя просят найти конкретное значение: корень, наименьшее или наибольшее решение, число решений. Развёрнутое доказательство не требуется, но ответ должен быть точным.

Нумерация и состав заданий могут меняться от года к году. Поэтому сверяйся с демоверсией и спецификацией на сайте ФИПИ (fipi.ru): там указано, какие типы уравнений входят в экзамен именно в этом году. Как работать с демоверсией, мы описали в статье о демоверсиях ЕГЭ.

Задание проверяет не сложные приёмы, а аккуратность и знание базовых правил. Большинство потерь здесь связано с вычислительными ошибками и невнимательным чтением условия.

7 задание ЕГЭ математика профиль: теория и все типы уравнений

Для этой задания нужно уверенно знать несколько групп уравнений. Это и есть краткая шпаргалка по теории:

• Линейные: перенеси слагаемые с неизвестным в одну сторону, числа в другую, раздели на коэффициент.
• Квадратные: через дискриминант или теорему Виета; всегда проверяй, сколько корней и какой из них нужен по условию.
• Дробно-рациональные: числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
• Иррациональные (с корнем): возведи обе части в квадрат и обязательно проверь корни подстановкой.
• Показательные: приведи обе части к одному основанию и приравняй показатели.
• Логарифмические: учти область определения, выражение под логарифмом должно быть положительным.
• Тригонометрические простейшие: знай значения для основных углов и формулы корней.
• Системы уравнений: способ подстановки или сложения.
• Неравенства: при умножении или делении на отрицательное число знак меняется на противоположный.

7 задание ЕГЭ математика профиль: степени и логарифмы

В показательных уравнениях сначала приведи всё к одному основанию. Например, 4 в степени x равно 2 в степени 2x, а 1/8 равно 2 в степени −3. После этого приравнивай показатели. Помни свойства: при умножении степеней с одним основанием показатели складываются, при возведении степени в степень — перемножаются.

В логарифмических уравнениях главное правило: проверка области определения. Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице, выражение под логарифмом — больше нуля. Типичная схема: приведи уравнение к виду log по основанию a от f(x) равно log по основанию a от g(x), затем перейди к f(x) = g(x) и проверь каждый корень в исходном выражении.

Полезные свойства логарифмов: сумма логарифмов с одним основанием равна логарифму произведения, разность — логарифму частного, а степень под логарифмом выносится множителем.

Тригонометрия в 7 задании ЕГЭ математика профиль

Простейшие тригонометрические уравнения вида sin x = a, cos x = a, tg x = a решаются по формулам корней. В задании с ответом-числом обычно просят конкретный корень на заданном промежутке, например наименьший положительный. Тогда выпиши общую серию решений и подставляй целые значения параметра n, пока не получишь подходящее число.

Следи за единицами измерения. Если ответ нужен в градусах, не оставляй его в радианах, и наоборот. Заранее выучи таблицу значений синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45, 60 и 90 градусов.

Алгоритм решения по шагам

Работай по одной и той же схеме, чтобы не терять время на выбор подхода:

• Прочитай условие целиком и подчеркни, что именно нужно найти: корень, наибольший корень, сумму корней.
• Определи тип уравнения и выпиши ограничения (знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение неотрицательно, выражение под логарифмом положительно).
• Упрости: раскрой скобки, приведи подобные, приведи к одному основанию.
• Реши и получи корни.
• Отбери корни, которые подходят по ограничениям и условию.
• Подставь ответ в исходное уравнение и убедись, что равенство верно.
• Запиши ответ в том виде, который требуется: число, десятичная дробь, целое.

Типичные ошибки и как их избежать

Ошибки в этой задания повторяются из года в год, поэтому полезно знать их заранее:

• Забытая проверка корней после возведения в квадрат или после преобразований с логарифмами.
• Потеря знака при переносе слагаемого через знак равенства.
• Деление обеих частей на выражение с неизвестным: так можно потерять корень. Лучше вынести множитель за скобки.
• Неверный знак неравенства при делении на отрицательное число.
• Выбор не того корня: в условии просят наибольший, а записан наименьший.
• Неверное округление или неправильная запись десятичной дроби в бланке.

Как проверить себя и закрепить тему

Самая быстрая проверка — подстановка. Подставь найденное число в левую и правую части и сравни. Для неравенств подставь одно число из найденного промежутка и одно из-за его границы: первое должно подойти, второе нет.

Тренируйся блоками по типам: сначала 10–15 линейных и квадратных уравнений, потом показательные, потом логарифмические, затем смешанный набор. Записывай в тетрадь, на каком шаге ошибся, и через несколько дней возвращайся к тем же типам. Тренажёр с автоматической проверкой ответа есть на странице задания 7, а пройти бесплатный тест можно, чтобы увидеть, какие типы уравнений пока даются хуже.

Ознакомься также с открытыми материалами ФИПИ: на fipi.ru публикуются демоверсии и открытый банк заданий. Сверяй формулировки и формат ответа с ними.

Материал — разъяснение «Ранг». Официальные правила экзамена, расписание, шкалы баллов и перечни заданий публикуют ФИПИ (fipi.ru) и Рособрнадзор (obrnadzor.gov.ru). Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.