Задание 8 ЕГЭ профиль: самостоятельная работа по степеням и логарифмам

Кому: выпускнику · Обновлено 2026-10-25

Раздел: Математика (профиль) · Тема: Разборы заданий по номерам · Задание 8

Чтобы самостоятельно потренировать задание 8 профильной математики на задания «степени и логарифмы», выучи короткий набор правил, реши по каждому типу несколько примеров и проверь себя по ответу. Ниже: теория в виде шпаргалки, алгоритм решения, ошибки и план работы на неделю.

Решить задание в тренажёре

Что проверяет 8 задание ЕГЭ по математике (профиль)

В нашем кодификаторе эта задание называется «Вычисления и преобразования: степени и логарифмы», уровень базовый, ответ — число. Нужно вычислить значение выражения или упростить его до числа, применив свойства степеней, корней и логарифмов.

Номер и содержание заданий могут меняться от года к году. Поэтому открой актуальную демоверсию и спецификацию на сайте ФИПИ (fipi.ru) и проверь, что стоит под номером 8 в твоём году. Запросы про производную и касательную относятся к другой теме: это отдельная задание, и готовиться к ней нужно по своей теории. Здесь разбираем только степени и логарифмы.

Теория: вся теория 8 задания в виде шпаргалки

Достаточно выучить свойства и понимать, когда они работают. Записываю простым текстом, a^n означает «a в степени n».

• a^m * a^n = a^(m+n); a^m : a^n = a^(m-n); (a^m)^n = a^(m*n).
• a^0 = 1 при a не равном 0; a^(-n) = 1 / a^n.
• a^(1/n) — это корень n-й степени из a; a^(m/n) = корень n-й степени из a^m.
• (a*b)^n = a^n * b^n; (a/b)^n = a^n / b^n.
• Логарифм: log_a(b) — это показатель, в который нужно возвести a, чтобы получить b. Основание a больше 0 и не равно 1, число b больше 0.
• Основное логарифмическое тождество: a^(log_a(b)) = b.
• log_a(b*c) = log_a(b) + log_a(c); log_a(b/c) = log_a(b) - log_a(c).
• log_a(b^k) = k * log_a(b); log_(a^k)(b) = (1/k) * log_a(b).
• Переход к новому основанию: log_a(b) = log_c(b) / log_c(a); log_a(b) = 1 / log_b(a).
• Значения: log_a(1) = 0, log_a(a) = 1.

Как решать 8 задание ЕГЭ математика профиль: алгоритм

Не бросайся сразу считать. Сначала приведи выражение к удобному виду, и тогда вычислений почти не останется.

• Шаг 1. Разложи числа на простые множители: 8 = 2^3, 27 = 3^3, 0,25 = 2^(-2), 0,1 = 10^(-1).
• Шаг 2. Приведи степени и логарифмы к одному основанию. Это главный приём в этом задании.
• Шаг 3. Вынеси показатели логарифмов вперёд и сложи или вычти логарифмы с одинаковым основанием.
• Шаг 4. Используй основное логарифмическое тождество, если степень и основание логарифма совпадают.
• Шаг 5. Обычные и десятичные дроби переведи в один вид, прежде чем считать.
• Шаг 6. Проверь ответ: подставь промежуточные значения и убедись, что число подходит по смыслу (дробь или целое, положительное или отрицательное).

Все типы 8 задания ЕГЭ математика профиль

Чтобы не решать всё подряд, разбей тренировку на типы. Для каждого типа реши минимум 5–7 примеров подряд, потом смешай.

Тип 1. Арифметика с дробями и степенями: десятичные и обыкновенные дроби, отрицательные показатели. Тип 2. Степени с одинаковым основанием: сложить, вычесть показатели, свести к одной степени. Тип 3. Корни и дробные показатели: записать корень как степень и посчитать. Тип 4. Логарифмы одного основания: сумма, разность, вынос показателя. Тип 5. Логарифмы разных оснований: переход к одному основанию. Тип 6. Основное логарифмическое тождество, в том числе с множителем в показателе, например 5^(2*log_5(3)).

Типичные ошибки и как проверить себя

Большинство потерь здесь не от незнания теории, а от невнимательности. Заведи тетрадь ошибок и записывай в неё причину каждого неверного ответа.

• Путают a^(-n) с минус a^n: знак минус в показателе означает дробь, а не отрицательное число.
• Складывают степени с разными основаниями: 2^3 + 2^4 не равно 2^7, здесь нужно выносить общий множитель.
• Считают log_a(b + c) как log_a(b) + log_a(c): такого свойства нет.
• Теряют коэффициент при переходе к основанию a^k: log_(a^k)(b) = (1/k) * log_a(b).
• Ошибаются в арифметике с десятичными дробями: переводи их в обыкновенные.
• Записывают ответ не в том виде: в ответе нужно число, проверь, нужна ли десятичная запись.

Самостоятельная работа по заданию 8: план на неделю

Работай короткими сессиями по 30–40 минут. День 1: повтори свойства степеней и реши примеры типов 1–2. День 2: корни и дробные показатели. День 3: свойства логарифмов, тип 4. День 4: переход к новому основанию и тождество, типы 5–6. День 5: смешанный набор из 10–15 примеров без шпаргалки. День 6: разбор ошибок из тетради и повтор тех типов, где ошибки были. День 7: контрольный набор на время.

Для проверки ответов удобен банк заданий с автоматической проверкой, например тренажёр «Ранга» по этой задания. Ещё можно сверять ответы с открытым банком заданий на сайте ФИПИ, а свои задания смотреть по демоверсии. Если ошибка повторяется, не решай новые примеры, а вернись к свойству, которое нарушил.

Материал — разъяснение «Ранг». Официальные правила экзамена, расписание, шкалы баллов и перечни заданий публикуют ФИПИ (fipi.ru) и Рособрнадзор (obrnadzor.gov.ru). Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.