9 задание ЕГЭ математика: производная, как решать

Кому: выпускнику · Обновлено 2026-10-25

Раздел: Математика (профиль) · Тема: Разборы заданий по номерам · Задание 9

В 9 задании ЕГЭ по математике (профиль) нужно работать с производной и первообразной: найти значение производной, точки экстремума или наибольшее и наименьшее значение функции. Ответ — число, поэтому решение сводится к короткому алгоритму: найти производную, приравнять к нулю, проверить знаки и подставить точки в функцию. Ниже разобраны теория, шаги решения и ошибки, на которых чаще всего теряют ответ.

Решить задание в тренажёре

Что проверяет задание 9 в профильной математике

По кодификатору «Ранга» эта задание называется «Производная и первообразная: экстремумы, наибольшее и наименьшее значения». На практике встречаются несколько типов условий: значение производной в точке, касательная и её угловой коэффициент, точки максимума и минимума, наибольшее или наименьшее значение на отрезке, задачи по графику функции или её производной.

Номер задания и формат бланка могут меняться от года к году. Перед подготовкой открой актуальную демоверсию и кодификатор на сайте ФИПИ (fipi.ru): там указано, какие умения проверяются в твой экзаменационный год, в том числе в 2026 и 2027. Не опирайся на пересказы в чатах.

9 задание ЕГЭ математика профиль: теория про производную

Для большинства задач достаточно небольшого набора фактов. Выучи их так, чтобы не сверяться с таблицей.

Производная показывает скорость изменения функции. Геометрический смысл: значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке. Физический смысл: если x(t) — координата, то x'(t) — скорость.

• Степень: (x^n)' = n·x^(n-1). Константа: (c)' = 0. Например, (x^3)' = 3x^2, (5)' = 0.
• Сумма и константа-множитель: (u+v)' = u'+v', (c·u)' = c·u'.
• Произведение: (u·v)' = u'v + uv'. Частное: (u/v)' = (u'v − uv')/v^2.
• Базовые функции: (e^x)' = e^x, (ln x)' = 1/x, (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x.
• Сложная функция: (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x). Например, (e^(2x))' = 2·e^(2x).
• Признаки: если f'(x) > 0 на промежутке, функция возрастает; если f'(x) < 0, убывает. Точка максимума — там, где производная меняет знак с плюса на минус; точка минимума — с минуса на плюс.

Как решать: наибольшее и наименьшее значение на отрезке

Это распространённый тип задания. Работает один алгоритм, и его нужно выполнять по шагам, не перепрыгивая через проверки.

Обрати внимание на вопрос: просят значение функции или точку, где оно достигается. Это разные ответы.

• Шаг 1. Найди область определения и убедись, что отрезок в неё входит.
• Шаг 2. Найди производную f'(x) и упрости её.
• Шаг 3. Реши f'(x) = 0 (и отметь точки, где производная не существует).
• Шаг 4. Оставь только корни, лежащие внутри отрезка [a; b]. Корни вне отрезка отбрасывай.
• Шаг 5. Вычисли f(a), f(b) и значения в оставшихся корнях.
• Шаг 6. Выбери из них наибольшее или наименьшее, смотря что спрашивают.
• Если на отрезке единственная критическая точка и по знакам производной это максимум, значение в ней и есть наибольшее. Это сокращает вычисления, но знаки производной нужно проверить, а не предположить.

Задания по графику: производная и экстремумы

Если дан график функции, производная читается по наклону касательной: положительна там, где график идёт вверх, отрицательна там, где вниз, равна нулю в вершинах. Количество точек экстремума — это количество «горбов» и «впадин» внутри интервала, концы интервала не считаются.

Если дан график производной, смотри только на знак: выше оси Ox функция возрастает, ниже — убывает. Точка максимума функции там, где график производной пересекает ось сверху вниз, минимум — снизу вверх. Касание оси без смены знака экстремума не даёт.

Для задач с касательной используй формулу: угловой коэффициент равен f'(x0). Если касательная параллельна прямой y = kx + b или оси Ox, приравняй производную к k или к нулю.

Первообразная: что нужно уметь

Первообразная F(x) для f(x) — функция, у которой F'(x) = f(x). Она определена с точностью до константы: F(x) + C. Поэтому в задачах обычно задают дополнительное условие, например F(0) = 3, и по нему находят C.

Основные случаи: для x^n первообразная x^(n+1)/(n+1), для 1/x это ln|x|, для e^x это e^x, для sin x это −cos x, для cos x это sin x. Проверка всегда одна: продифференцируй найденный результат и убедись, что вернулась исходная функция.

Типичные ошибки и как себя проверить

Большинство неверных ответов связано не с идеей, а с вниманием.

• Дифференцирование: забыт множитель g'(x) у сложной функции, неверно взят знак у (cos x)'.
• Корень производной вне отрезка включён в сравнение значений.
• Не вычислены значения на концах отрезка, хотя максимум может быть именно там.
• В ответ записана точка вместо значения функции или наоборот.
• Арифметика со знаками при подстановке отрицательных чисел в степени.
• Проверка: подставь найденный ответ в условие, убедись, что точка лежит в отрезке, а значение не меньше (не больше) значений на концах.

Как тренироваться по заданию 9

Начни с демоверсий и открытого банка на fipi.ru: смотри, как формулируют условия именно в этом году. Затем реши подряд по 5–7 однотипных задач (значение производной, график, отрезок), чтобы закрепить алгоритм, а потом смешивай типы.

Если нужна площадка с проверкой ответа, на «Ранге» есть тренажёр по этому заданию и бесплатный тест, чтобы увидеть, какие типы пока даются хуже. Ошибки записывай по группам: «производная», «отрезок», «график», и возвращайся к слабой группе через несколько дней.

Материал — разъяснение «Ранг». Официальные правила экзамена, расписание, шкалы баллов и перечни заданий публикуют ФИПИ (fipi.ru) и Рособрнадзор (obrnadzor.gov.ru). Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.