15 задание ЕГЭ математика профиль: неравенства и алгоритм

Кому: выпускнику · Обновлено 2026-10-25

Раздел: Математика (профиль) · Тема: Разборы заданий по номерам · Задание 15

В профильной математике задание № 15 — это неравенство: показательное, логарифмическое, дробно-рациональное или смешанное. Решать его нужно по одной схеме: найти ОДЗ, привести неравенство к простому виду, решить его методом интервалов и пересечь результат с ОДЗ. Ниже алгоритм, разобранные примеры, требования к оформлению и список ошибок, на которых теряют баллы.

Решить задание в тренажёре

Что проверяет 15 задание ЕГЭ по профильной математике

Это задание с развёрнутым ответом: нужно записать полное решение, а не только ответ. Проверяют, умеешь ли ты аккуратно преобразовывать неравенство, не терять ограничения и правильно записывать итоговое множество решений.

Чаще всего встречаются четыре типа неравенств:

• показательные: переменная стоит в показателе степени;
• логарифмические: переменная под знаком логарифма или в основании;
• дробно-рациональные, в том числе с показательными и логарифмическими частями;
• комбинированные: логарифмы или степени плюс дробь, модуль или замена переменной.

Алгоритм решения неравенств: 5 шагов

Такой порядок подходит для большинства вариантов. Если ты его придерживаешься, решение получается логичным и его легко проверить.

• Выпиши ОДЗ: знаменатели не равны нулю, выражения под логарифмом положительны, основание логарифма положительно и не равно единице.
• Упрости неравенство: приведи степени к одному основанию, логарифмы к одному основанию, перенеси всё в одну сторону.
• Если возможно, введи замену (t = 3^x или t = log2 x) и не забудь ограничения на t.
• Реши полученное неравенство методом интервалов, отметив на оси нули числителя и знаменателя.
• Вернись к исходной переменной и пересеки ответ с ОДЗ. Запиши итог промежутками.

Показательные неравенства: пример и правило знака

Главное правило: если основание больше 1, при переходе к показателям знак неравенства сохраняется; если основание между 0 и 1, знак меняется на противоположный.

Пример: 9^x - 4·3^x + 3 ≤ 0. Заметим, что 9^x = (3^x)^2, и введём t = 3^x, где t > 0. Получим t^2 - 4t + 3 ≤ 0, то есть (t - 1)(t - 3) ≤ 0, откуда 1 ≤ t ≤ 3. Возвращаемся: 1 ≤ 3^x ≤ 3, значит 0 ≤ x ≤ 1. Ответ: [0; 1].

Частая ловушка: после замены забывают, что t > 0, и пытаются рассматривать отрицательные значения, которых у показательной функции не бывает.

Логарифмические неравенства и ОДЗ

В логарифмических неравенствах ОДЗ — обязательная часть решения. Без неё ответ часто получается неверным, даже если все преобразования выполнены правильно.

Пример: log2^2 x - 3·log2 x + 2 ≥ 0. ОДЗ: x > 0. Пусть t = log2 x, тогда t^2 - 3t + 2 ≥ 0, то есть (t - 1)(t - 2) ≥ 0, откуда t ≤ 1 или t ≥ 2. Значит, log2 x ≤ 1 или log2 x ≥ 2. Основание 2 больше 1, поэтому x ≤ 2 или x ≥ 4. С учётом ОДЗ: (0; 2] и [4; +∞).

Если основание логарифма содержит переменную, рассматривай два случая: основание больше 1 и основание между 0 и 1. Либо используй метод рационализации: знак выражения log по основанию h от f минус log по основанию h от g совпадает со знаком произведения (h - 1)(f - g) при условии, что все выражения входят в ОДЗ. Этот метод экономит время, но его нужно уверенно знать и аккуратно применять.

Неравенства с логарифмами и дробью: метод интервалов

В задании часто встречается дробь, в числителе или знаменателе которой стоят показательные или логарифмические выражения. Схема такая: перенеси всё в левую часть, приведи к общему знаменателю, разложи числитель и знаменатель на множители, найди нули каждого множителя и расставь знаки на промежутках.

Обрати внимание на скобки. Нули знаменателя всегда выколоты. Нули числителя входят в ответ только при нестрогом неравенстве и только если принадлежат ОДЗ. Именно на этих точках чаще всего делают ошибки: скобку ставят «по привычке», не проверив условие.

Оформление решения и критерии проверки

Эксперт смотрит на ход решения целиком. Чтобы работа читалась однозначно, придерживайся простых правил:

• пиши ОДЗ отдельной строкой в начале решения;
• при замене явно указывай новую переменную и её ограничения;
• каждый переход объясняй коротко, но так, чтобы он был понятен без рисунка в голове;
• на оси отмечай выколотые и закрашенные точки и подписывай знаки;
• итог записывай в виде объединения промежутков, а не словами.

Типичные ошибки и как проверить себя

Самопроверка занимает пару минут и часто возвращает потерянный балл. Пройдись по списку после того, как записал ответ:

• Проверь, что каждая точка ответа удовлетворяет ОДЗ.
• Подставь одно число из каждого промежутка ответа и одно число из выброшенных промежутков в исходное неравенство.
• Убедись, что при делении или умножении на выражение ты не потерял случай, когда оно отрицательно или равно нулю.
• Проверь, что знак поменялся там, где основание меньше 1.
• Сверь тип скобок с типом знака неравенства.

Как тренироваться по теме

Начни с показательных неравенств с одной заменой, затем перейди к логарифмическим с постоянным основанием, и только после этого берись за переменное основание и комбинированные задачи. Каждое решение сразу сверяй с ответом, а ошибки записывай в отдельный список: по нему видно, что повторить.

Потренироваться на заданиях с проверкой ответа можно в тренажёре «Ранга». Для сравнения с настоящим форматом возьми задания из открытого банка ФИПИ и разбери критерии к ним.

Материал — разъяснение «Ранг». Официальные правила экзамена, расписание, шкалы баллов и перечни заданий публикуют ФИПИ (fipi.ru) и Рособрнадзор (obrnadzor.gov.ru). Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.