16 задание ЕГЭ математика профиль: как решать и разбирать

Кому: выпускнику · Обновлено 2026-10-25

Раздел: Математика (профиль) · Тема: Разборы заданий по номерам · Задание 16

Чтобы решить 16 задание ЕГЭ по профильной математике, нужно перевести условие в таблицу: что происходит с долгом или вкладом по годам, а затем составить уравнение или неравенство и решить его. Ниже разобраны вклады, кредиты и дифференцированные платежи, приёмы решения неравенств, критерии проверки и типичные ошибки.

Решить задание в тренажёре

Что проверяет задание № 16 и как не запутаться в нумерации

Под запросом «16 задание ЕГЭ математика профиль» ученики чаще всего ищут финансовую задачу: вклады, кредиты, платежи. Но номер зависит от версии экзамена: в разные годы задачи на проценты и задачи на неравенства стояли под разными номерами. Поэтому в начале подготовки открой демоверсию текущего года на сайте ФИПИ (fipi.ru) и посмотри, какой номер сейчас у каждой задачи. Спецификация и кодификатор там же.

В тренажёре «Ранга» задание № 16 связано с темой «Неравенства: решение различными приёмами», поэтому в статье разобраны обе части: финансовая модель, где итоговый вопрос часто сводится к неравенству, и сами приёмы решения неравенств. Это задание повышенного уровня: от тебя требуется не только ответ, но и записанное обоснованное решение.

16 задание ЕГЭ математика профиль: теория и шпаргалка

Вся теория умещается в несколько формул. Если ты их понимаешь, а не заучиваешь, задачи решаются по одной схеме.

Главный инструмент — коэффициент k. Если проценты начисляются на остаток, то при ставке r процентов в год k = 1 + r/100. Например, при 10% годовых k = 1,1; при 20% k = 1,2.

• Вклад без пополнений: через n лет сумма равна S · k в степени n. Если банк берёт или начисляет проценты на остаток, считай по шагам.
• Кредит: за год долг умножается на k, затем вычитается платёж. Порядок действий важен: сначала начисление процентов, потом платёж.
• Аннуитетный платёж (равные платежи x): для двух лет S · k² = x · (k + 1), для трёх лет S · k³ = x · (k² + k + 1). Это условие того, что после последнего платежа долг равен нулю.
• Дифференцированный платёж: долг уменьшается равными долями, а платёж каждый раз разный и включает проценты на текущий остаток.
• Переплата — это сумма всех платежей минус взятая сумма.

Как решать 16 задание: алгоритм по шагам

Не пытайся сразу составить одну большую формулу. Работай по порядку, и ошибки будет легко найти.

• Выпиши данные: сумма, ставка, срок, как именно меняется долг и когда делаются платежи.
• Найди k и запиши, что известно, а что нужно найти (x, ставка, срок, сумма).
• Составь таблицу: строки — периоды, столбцы — долг до начисления, долг после начисления, платёж, долг после платежа.
• Заполни таблицу для первых двух-трёх периодов и найди закономерность: часто долги образуют арифметическую прогрессию.
• Запиши итоговое уравнение или неравенство (например, платёж не больше определённой суммы) и реши его.
• Проверь ответ по смыслу: срок — целое число, сумма положительна, долг к концу срока равен нулю.

16 задание ЕГЭ математика профиль: дифференцированные платежи на примере

Разберём задачу. В июле взяли кредит 600 000 рублей на 3 года под 10% годовых. Каждый январь долг растёт на 10%. С февраля по июнь нужно сделать платёж, а каждый июль долг должен быть на 200 000 меньше, чем в предыдущем июле. Найди сумму всех платежей.

Первый год: долг 600 000, после начисления 660 000. По условию в июле долг должен стать 400 000, значит платёж 260 000. Второй год: 400 000 · 1,1 = 440 000, долг должен стать 200 000, платёж 240 000. Третий год: 200 000 · 1,1 = 220 000, долг должен стать 0, платёж 220 000. Сумма платежей 720 000, переплата 120 000.

Проверка: проценты начисляются на остатки 600 000, 400 000 и 200 000, их сумма 1 200 000, а 10% от неё равно 120 000. Совпало. Такая проверка удобна и на экзамене: она занимает минуту и ловит арифметические ошибки.

Неравенства в задании № 16: приёмы решения

Когда в финансовой задаче нужно найти наименьший срок или наибольшую ставку, решение заканчивается неравенством. Отдельно встречаются и задания на логарифмические и показательные неравенства. Основные приёмы такие.

• ОДЗ в первую очередь. Для логарифмов основание положительно и не равно единице, аргумент положителен. Для дробей знаменатель не равен нулю. Корни, не попавшие в ОДЗ, отбрасываются.
• Метод интервалов. Приведи неравенство к виду «выражение сравнивается с нулём», разложи на множители, отметь нули и точки разрыва, расставь знаки. Обрати внимание на кратность корней: через корень чётной кратности знак не меняется.
• Замена переменной. Если повторяется одно и то же выражение (например, 4 в степени x и 2 в степени x), введи новую переменную и не забудь про её ограничения, например t > 0.
• Рационализация. Знак разности логарифмов по одному основанию совпадает со знаком произведения (a − 1)(f − g), если f и g положительны. Это превращает логарифмическое неравенство в рациональное.
• Приведение к одному основанию. Если основание меньше единицы, знак неравенства меняется на противоположный.

16 задание ЕГЭ математика профиль: критерии и сколько баллов

Максимальный первичный балл за это задание, критерии и таблицу перевода первичных баллов в тестовые смотри только в официальных документах: на fipi.ru в демоверсии и в материалах по критериям оценивания, а также на сайте Рособрнадзора obrnadzor.gov.ru. Числа меняются, поэтому не опирайся на чужие пересказы. Подробнее о переводе баллов — в статье про шкалу баллов по математике.

Принцип оценивания обычно такой: баллы начисляются за ход решения. Засчитывается верно составленная модель, верное уравнение или неравенство, а ошибка в вычислениях при верной идее обычно оценивается ниже полного балла, но не обнуляет работу. Поэтому записывай решение полностью: таблицу, формулы, обоснование каждого шага. Эксперт не может засчитать то, чего нет на бланке.

Типичные ошибки и как проверить себя

Вот места, где чаще всего теряют баллы в этом задании.

Перепутан порядок действий: платёж вычтен до начисления процентов. Запиши в таблице отдельную строку «после начисления». Ещё одна ошибка: ставка 10% превращена в коэффициент 0,1 вместо 1,1. Ошибка в формуле суммы прогрессии тоже встречается часто: выпиши первые члены вручную и сверь. Для неравенств типична потеря ОДЗ и неверный знак при умножении на отрицательное число или при основании меньше единицы.

Для самопроверки подставь найденный ответ обратно в условие и пройди все периоды по таблице: долг в конце должен получиться нулевым. Потренироваться можно на задачах с проверкой ответа в тренажёре «Ранга»: раздел по заданию № 16 для профильной математики. Начни с задач на один-два периода, затем переходи к трём и более и к задачам с параметром ставки.

Материал — разъяснение «Ранг». Официальные правила экзамена, расписание, шкалы баллов и перечни заданий публикуют ФИПИ (fipi.ru) и Рособрнадзор (obrnadzor.gov.ru). Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.