14 задание ЕГЭ математика: уравнения и отбор корней

Кому: выпускнику · Обновлено 2026-10-25

Раздел: Математика (профиль) · Тема: Разборы заданий по номерам · Задание 14

В этом задании нужно решить уравнение (чаще тригонометрическое, иногда показательное или логарифмическое) и отобрать корни на заданном промежутке. Ответ записывается развёрнуто, с обоснованием, поэтому важны и вычисления, и порядок действий. Ниже: алгоритм, способы отбора, критерии и ошибки, на которых теряют больше всего.

Решить задание в тренажёре

14 задание ЕГЭ математика профиль: что проверяют

В задания «Уравнения: решение и отбор корней» две части. Сначала ты получаешь все решения уравнения, потом выбираешь из них те, что попадают в указанный отрезок или интервал. Проверяется умение сводить уравнение к простым, аккуратно работать с сериями корней и не терять решения.

Номера и содержание заданий в КИМ могут меняться от года к году. Поэтому сверяйся не с памятью и не с чужими списками, а с актуальной демоверсией и спецификацией на сайте ФИПИ (fipi.ru). Именно там опубликованы формулировки, а также критерии оценивания каждой части.

14 задание ЕГЭ математика профиль ФИПИ, 2026 и 2027: где смотреть актуальное

Для нужного года открой на fipi.ru раздел демоверсий, спецификаций и кодификаторов по математике (профильный уровень). Проверь три вещи: под каким номером стоит задание с уравнением, какой записи ответа от тебя ждут и сколько баллов даёт каждая часть решения. Не опирайся на цифры из роликов и форумов: они устаревают.

Если ты готовишься к экзамену 2027 года, смотри именно материалы этого года и сравнивай их с прошлогодними: изменения, если они есть, указаны в документах ФИПИ и Рособрнадзора (obrnadzor.gov.ru).

Алгоритм решения уравнения

Действуй по одной схеме, тогда меньше шансов запутаться.

• Найди ОДЗ: знаменатели не равны нулю, под корнем неотрицательное число, под логарифмом положительное, основание логарифма положительно и не равно единице.
• Приведи уравнение к одной функции и одному аргументу: формулы приведения, двойного угла, основное тригонометрическое тождество.
• Сделай замену (например, t = cos x) и реши получившееся уравнение. Сразу запиши ограничения на t: для синуса и косинуса это отрезок от −1 до 1.
• Если удобно, разложи на множители: произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, а остальные определены.
• Вернись к исходной переменной и запиши общие решения с целым параметром n (или k).
• Проверь корни по ОДЗ, если при преобразованиях ты умножал на выражение с переменной или возводил в квадрат.

Отбор корней: три способа

Выбери способ, который проще для конкретного промежутка, и обязательно покажи его в решении.

• Неравенство для n. Подставь серию в условие, например −pi ≤ pi/3 + 2·pi·n ≤ 2·pi, реши неравенство и выбери целые n.
• Перебор значений n. Подставь n = −1, 0, 1 и проверь каждое значение, сравнивая с границами промежутка.
• Тригонометрический круг. Отметь на круге точки серий и дугу промежутка, посмотри, какие точки попали на дугу. Подходит, когда серий несколько и промежуток не длиннее двух оборотов.
• Отдельно следи за границами: если промежуток закрытый, граничная точка может быть корнем.

Пример: уравнение и отбор корней

Реши 2cos^2 x − 5cos x + 2 = 0 и найди корни на отрезке [−pi; 2·pi]. Пусть t = cos x, тогда 2t^2 − 5t + 2 = 0, откуда t = 2 или t = 1/2. Значение t = 2 не подходит, так как косинус не больше 1. Остаётся cos x = 1/2, то есть x = ±pi/3 + 2·pi·n.

Отбор: из серии pi/3 + 2·pi·n подходит pi/3 при n = 0 (при n = 1 получаем 7pi/3, это больше 2pi). Из серии −pi/3 + 2·pi·n подходят −pi/3 при n = 0 и 5pi/3 при n = 1. Ответ: −pi/3; pi/3; 5pi/3. Обрати внимание: мы явно отбросили t = 2 и объяснили почему, этот шаг проверяющие хотят видеть.

14 задание ЕГЭ математика профиль: критерии проверки

Решение с развёрнутой записью оценивается по критериям, которые публикует ФИПИ вместе с демоверсией. Обычно оцениваются отдельно две вещи: верно ли решено уравнение и верно ли отобраны корни. Точное число баллов за каждую часть смотри в документе с критериями за нужный год: там же разобраны случаи, когда баллы снимают.

Типично снижают оценку так: решение уравнения верное, но отбор не проведён или проведён с ошибкой; допущена вычислительная ошибка при верном ходе; в ответ попали посторонние корни или потерялась часть серии. Чтобы понять, как работает шкала, загляни в разбор о том, как первичные баллы переводятся в тестовые, и сверься с таблицей на сайте ФИПИ.

Типичные ошибки и как проверить себя

Самая частая ошибка: потерянная серия корней или лишний период. Например, решая sin x = a, пишут только одну серию вместо двух. Вторая по частоте: не учтено ОДЗ, и в ответ попадают значения, при которых знаменатель равен нулю.

Проверь себя по короткому списку перед тем, как сдать решение:

• подставь один-два полученных корня в исходное уравнение;
• убедись, что все серии записаны с параметром и периодом (2pi или pi);
• проверь, что границы промежутка учтены и неравенство для n решено верно;
• сверь итоговый список корней с кругом или числовой прямой;
• запиши ответ отдельной строкой, по возрастанию.

Теория и метод координат: что повторить

Для этой задания нужна такая теория: значения тригонометрических функций для основных углов, формулы приведения, двойного угла и сумма квадратов синуса и косинуса, решение простейших уравнений sin x = a, cos x = a, tg x = a, свойства степеней и логарифмов для показательных и логарифмических уравнений.

Метод координат относится к геометрическим заданиям профильного экзамена (расстояния, углы, сечения в пространстве), а не к решению уравнений. Если в демоверсии нужного года ты видишь стереометрическое задание с таким же номером, значит, нумерация в КИМ изменилась: тренируй обе задания по разным разделам. Для уравнений потренируйся на заданиях раздела про 13 номер, а затем на тренажёре «Ранга» с проверкой ответа.

Материал — разъяснение «Ранг». Официальные правила экзамена, расписание, шкалы баллов и перечни заданий публикуют ФИПИ (fipi.ru) и Рособрнадзор (obrnadzor.gov.ru). Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.