Самостоятельная работа: задание 2 ЕГЭ профиль (векторы)

Кому: выпускнику · Обновлено 2026-10-25

Раздел: Математика (профиль) · Тема: Разборы заданий по номерам · Задание 2

Задание 2 профильного ЕГЭ по математике — это векторы и координаты: нужно найти длину вектора, его координаты, сумму или разность, скалярное произведение. Все задачи решаются несколькими формулами и аккуратным счётом, поэтому их можно отработать самостоятельно: выучи формулы, разбери типы задач и прорешай серию вариантов с проверкой ответа.

Решить задание в тренажёре

2 задание ЕГЭ математика профиль: что проверяют

В «Ранге» эта задание называется «Векторы и координаты». Ответ в ней — число (целое или конечная десятичная дробь), которое записывается в бланк без единиц измерения. Геометрическая картинка обычно уже дана: вектора нарисованы на клетчатой бумаге либо заданы координатами точек или самих векторов.

Задание проверяет не сложные идеи, а базовые навыки: ты умеешь читать координаты, считать по формулам и не путаться в знаках. Именно поэтому здесь теряют баллы из-за невнимательности, а не из-за нехватки знаний. Точный формат и содержание смотри в демоверсии и кодификаторе на сайте ФИПИ (fipi.ru): они обновляются, и ориентироваться стоит на документы текущего года, а не на пересказы.

Вся теория: 2 задание ЕГЭ математика профиль, формулы

Для задания 2 достаточно небольшого набора формул. Выпиши их на один лист и повторяй, пока не начнёшь писать без подсказки. Все формулы ниже даны для плоскости; в пространстве добавляется третья координата z, и всё считается так же.

• Координаты вектора AB: из координат конца вычитаем координаты начала, то есть (xB - xA; yB - yA).
• Сумма векторов: складываем одноимённые координаты, (x1 + x2; y1 + y2). Разность — вычитаем.
• Умножение на число: каждую координату умножаем на это число, k·(x; y) = (kx; ky).
• Длина вектора (x; y): корень из (x в квадрате плюс y в квадрате). В пространстве под корнем ещё z в квадрате.
• Скалярное произведение через координаты: x1·x2 + y1·y2 (в пространстве плюс z1·z2). Результат — число, а не вектор.
• Скалярное произведение через угол: |a|·|b|·cos(угла между векторами).
• Косинус угла между векторами: скалярное произведение, делённое на произведение длин.
• Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю; коллинеарны, если координаты пропорциональны.

2 задание ЕГЭ математика профиль: все типы задач

Чаще всего встречаются несколько повторяющихся форматов. Если ты узнаёшь тип за несколько секунд, то сразу знаешь, какую формулу применять.

• Вектора на клетчатой бумаге: по рисунку определяешь координаты каждого вектора (сколько клеток вправо и вверх), затем находишь сумму, разность или длину.
• Вектор по двум точкам: даны координаты начала и конца, нужно найти длину или координаты вектора.
• Скалярное произведение по координатам: подставляешь числа в формулу x1·x2 + y1·y2.
• Скалярное произведение по условию: известны длины и угол, например 60 или 120 градусов, и нужно подставить значение косинуса.
• Линейная комбинация: найти координаты или длину вектора вида 2a - 3b.
• Параллелограмм и треугольник: вектор диагонали выражается через стороны, длины сторон и угол заданы.
• Условия перпендикулярности и коллинеарности: найти значение параметра, при котором выполняется условие.

Как решать 2 задание ЕГЭ математика профиль: алгоритм

Работай по одной последовательности — так меньше шансов потерять знак или перепутать порядок точек.

• Выпиши, что дано: координаты точек или векторов, длины, угол. Если есть рисунок, сразу запиши координаты каждого вектора рядом с чертежом.
• Определи, что нужно найти: координаты, длину, скалярное произведение, угол, параметр.
• Выбери одну формулу из списка и подставь числа в скобках, особенно отрицательные.
• Считай по шагам, не пропуская промежуточные записи. Корень вычисляй в самом конце.
• Проверь ответ: подходит ли знак, соответствует ли порядок величины рисунку, не потерял ли ты множитель при умножении на число.
• Запиши ответ в том виде, который требуется: число, без единиц измерения, с десятичной запятой, если дробь.

Разбор 2 задания ЕГЭ математика профиль: два примера

Пример 1. Даны векторы a(3; -4) и b(-2; 5). Найди скалярное произведение. Считаем по координатам: 3·(-2) + (-4)·5 = -6 - 20 = -26. Ответ: -26. Обрати внимание: ответ отрицательный, это нормально, скалярное произведение может быть любого знака.

Пример 2. Точка A имеет координаты (1; 2), точка B — (7; 10). Найди длину вектора AB. Сначала координаты вектора: (7 - 1; 10 - 2) = (6; 8). Затем длина: корень из (36 + 64) = корень из 100 = 10. Ответ: 10.

Пример 3 на скалярное произведение через угол. Длины векторов равны 4 и 5, угол между ними 60 градусов. Тогда произведение равно 4·5·cos 60 = 20·0,5 = 10. Если бы угол был 120 градусов, косинус стал бы отрицательным (-0,5), и ответ был бы -10. Значения косинусов основных углов лучше помнить наизусть.

Типичные ошибки и как их избежать

Большинство неверных ответов в этой теме повторяются из года в год. Проверь по списку, не делаешь ли ты что-то из этого.

• Вычитание «наоборот»: координаты вектора AB — это конец минус начало, а не наоборот.
• Потерянный минус при подстановке отрицательных чисел без скобок.
• Длина без корня или корень, взятый до сложения квадратов.
• Скалярное произведение записано как вектор (пара чисел), хотя должно получиться одно число.
• Неверный угол при чтении условия: угол между векторами и угол в многоугольнике могут отличаться.
• Ошибка при чтении клеток на рисунке: считай клетки по горизонтали и вертикали отдельно и записывай со знаком.

Практика и самостоятельная работа по заданию 2

Один разобранный пример почти ничего не даёт: навык закрепляется на серии однотипных задач. Хорошая схема на неделю такая: в первый день повтори формулы и реши несколько задач по каждому типу, затем в течение нескольких дней решай по небольшому набору задач с таймером, а в конце проведи самопроверку — реши задачи без подсказок и ошибки выпиши отдельно.

Веди журнал ошибок: тип задачи, в чём ошибся (знак, формула, чтение рисунка), как правильно. Через несколько дней возвращайся к записям и решай такие же задачи заново. Задания для тренировки можно брать из открытых материалов ФИПИ и демоверсий, а также из тренажёра на странице задания 2 «Ранга», где ответ проверяется сразу. Если не уверен, с чего начать, пройди бесплатный тест и посмотри, какие типы задач у тебя пока даются хуже.

Материал — разъяснение «Ранг». Официальные правила экзамена, расписание, шкалы баллов и перечни заданий публикуют ФИПИ (fipi.ru) и Рособрнадзор (obrnadzor.gov.ru). Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.