ЕГЭ 2024, математика (профиль): задача с параметром

Кому: выпускнику · Обновлено 2026-10-25

Раздел: Математика (профиль) · Тема: Разборы заданий по номерам · Задание 24

Чтобы решить задачу с параметром из профильного ЕГЭ по математике 2024 года, нужно найти все значения параметра, при которых выполняется требование к корням. Начни с ограничений, затем выдели случаи и отдельно проверь их границы. В официальной нумерации этого экзамена задача с параметром — задание № 18; указанный в запросе номер 24 требует уточнения по источнику.

Решить задание в тренажёре

Как найти нужную задачу и проверить её номер

Если в подборке стоит «задание № 24», это может быть внутренний номер упражнения. Ориентируйся на полное условие: какое уравнение или система даны, какие значения параметра требуется найти, сколько решений должно получиться. Один номер без текста не позволяет определить конкретную задачу.

Для проверки официального формата открой сайт ФИПИ, раздел ЕГЭ с демонстрационными вариантами, спецификациями и кодификаторами. Найди материалы по математике профильного уровня за 2024 год. В демонстрационном варианте проверь формулировку и критерии оценивания, в спецификации — положение задания в работе.

Демонстрационный вариант показывает формат и требования, но не подтверждает происхождение любого упражнения из интернета. Если разбираешь конкретный вариант, сверяй исходное условие целиком: знак неравенства, модуль или слово «различных» могут изменить ответ.

• Зафиксируй источник и полный текст условия.
• Подчеркни требование: например, «ровно два различных корня».
• Отдели неизвестную x от параметра a: при каждом выбранном a получается отдельное уравнение.

Алгоритм решения задачи с параметром

Сначала выясни, при каких x выражения определены. Для дроби исключи нули знаменателя, для квадратного корня потребуй неотрицательность подкоренного выражения. Эти ограничения сохраняются после преобразований: сокращение дроби не возвращает исключённые значения.

Затем выбери способ решения по устройству задачи. Модуль часто требует разбиения на случаи или замены t = |x|. Повторяющееся выражение подсказывает замену переменной. Если уравнение удобно представить как пересечение графиков, исследуй, при каких значениях параметра меняется число точек пересечения.

Критические значения параметра возникают там, где меняется ситуация: исчезает старший коэффициент, дискриминант обращается в ноль, корень попадает на границу допустимой области. Между такими значениями исследуй каждый промежуток, а сами границы рассматривай отдельно.

• Запиши ограничения и требование к решениям.
• Выполни преобразования, сохранив условия их допустимости.
• Найди значения параметра, при которых может измениться число корней.
• Исследуй промежутки и граничные значения.
• Вернись к исходной переменной и сформулируй ответ.

Учебный пример: замена t = |x|

Найдём все значения a, при которых уравнение x² − 2a|x| + a + 2 = 0 имеет ровно два различных действительных корня. Это учебный пример для отработки метода.

Положим t = |x|. Тогда t ≥ 0, а x² = t². Получаем квадратное уравнение t² − 2at + a + 2 = 0. Теперь нужно исследовать его неотрицательные корни и определить, сколько значений x соответствует каждому из них.

Дискриминант равен D = 4a² − 4a − 8 = 4(a − 2)(a + 1). Действительные корни по t существуют при a ≤ −1 или a ≥ 2. При −1 < a < 2 решений нет.

Условие D ≥ 0 ещё не отвечает на вопрос задачи. Корни по t могут оказаться отрицательными, а положительный корень после возвращения к x даёт два решения.

• Каждый положительный корень t даёт два корня: x = t и x = −t.
• Корень t = 0 даёт один корень x = 0.
• Отрицательный корень t не соответствует ни одному действительному x.
• Совпавшие корни квадратного уравнения учитываются как одно различное значение t.

Как исследовать промежутки и получить ответ

По теореме Виета сумма корней уравнения по t равна 2a, произведение — a + 2. Поэтому дополнительно выделяем a = −2: здесь один корень проходит через ноль. Вместе с нулями дискриминанта получаем три граничных значения: −2, −1 и 2.

При a < −2 произведение отрицательно, значит, два действительных корня имеют разные знаки. Ровно один из них положителен и даёт два различных значения x. Все такие a подходят.

При −2 < a ≤ −1 действительные корни по t отрицательны: их произведение положительно, а сумма отрицательна. При a = −1 они совпадают и равны −1. Допустимых значений t здесь нет.

При a > 2 дискриминант положителен, сумма и произведение корней положительны. Получаются два различных положительных корня t, каждый даёт пару значений x. Всего четыре корня — условие не выполнено.

• При a = −2 получаем t(t + 4) = 0. Допустим только t = 0, поэтому исходное уравнение имеет один корень.
• При −1 < a < 2 дискриминант отрицателен: действительных корней нет.
• При a = 2 получаем (t − 2)² = 0. Единственное значение t = 2 даёт x = −2 и x = 2.
• Ответ: a < −2 или a = 2.

Как проверить себя после решения

Проверка должна охватывать промежутки и границы. Выбери несколько удобных значений параметра и подставь их в исходное уравнение. Такая проверка помогает заметить ошибку в знаке или числе корней, но не заменяет доказательство для всего промежутка.

Особое внимание удели значениям, которые вошли в ответ отдельными точками. В примере a = 2 подходит из-за совпадения корней по t, а соседние значения справа уже дают четыре корня по x.

Если используешь график, строй его для исходного выражения и сравнивай наблюдения с вычислениями. Масштаб изображения может скрыть близкие корни или создать впечатление касания. Точное граничное значение подтверждай алгебраически.

• a = −3: уравнение по t имеет корни разных знаков, поэтому по x получаются два корня.
• a = −2: исходное уравнение имеет вид x² + 4|x| = 0, откуда x = 0.
• a = 0: получаем x² + 2 = 0, действительных корней нет.
• a = 2: получаем (|x| − 2)² = 0, откуда x = ±2.
• a = 3: оба корня по t положительны и различны, поэтому по x корней четыре.

Типичные ошибки и оформление решения

В записи решения должна быть видна связь между условием и каждым действием. После замены сразу укажи допустимые значения новой переменной. Перед исследованием дискриминанта проверь старший коэффициент: если он зависит от параметра и обращается в ноль, соответствующее значение нужно рассмотреть отдельно.

Недостаточно написать «по Виету оба корня положительны». Сначала установи существование действительных корней, затем используй сумму и произведение для определения их знаков. Если условие требует различные корни, отдельно проверь, не совпадают ли они.

В завершение объясни, почему перечисленные случаи исчерпывают все значения параметра. Ответ должен однозначно показывать, какие границы включены. Для конкретного экзаменационного задания сверь полноту оформления с опубликованными критериями ФИПИ.

• Потеря ограничения t ≥ 0 приводит к учёту недопустимых корней.
• Подсчёт корней по t вместо корней по x меняет ответ.
• Автоматическое удвоение количества корней ошибочно при t = 0.
• Пропуск D = 0 может убрать из ответа отдельное подходящее значение.
• Проверка нескольких чисел без исследования промежутков оставляет решение необоснованным.

Как тренироваться на похожих задачах

Начни с нескольких упражнений на один приём: замену с ограничением, знаки корней по Виету или подсчёт пересечений графиков. После решения объясни письменно, почему выбран именно этот метод и в каких местах меняется число решений.

Затем реши задачу с другим требованием: например, найди параметры для одного или четырёх корней в разобранном уравнении. Это проверит понимание перехода от t к x. Сохраняй ошибки по причинам: пропущенная граница, неверный знак, потерянное ограничение.

В «Ранг» можно потренироваться на заданиях профильной математики с проверкой ответа или пройти бесплатный тест. При разборе задачи с параметром дополнительно проверяй собственное письменное обоснование: совпадения итогового ответа недостаточно для проверки всех рассуждений.

• Реши упражнение самостоятельно до просмотра объяснения.
• Проверь границы и вернись к исходному уравнению.
• Через несколько дней повтори задачу без подсказок.

Материал — разъяснение «Ранг». Официальные правила экзамена, расписание, шкалы баллов и перечни заданий публикуют ФИПИ (fipi.ru) и Рособрнадзор (obrnadzor.gov.ru). Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.