18 задание ЕГЭ математика: планиметрия, как решать
В задания «Планиметрия: доказательство и вычисление» нужно доказать геометрический факт и затем найти величину: длину, угол или площадь. Решение оформляется полностью, с обоснованием каждого шага. Ниже разобрано, как к нему подойти, что повторить из теории и как проверить себя до сдачи работы.
18 задание ЕГЭ математика профиль: что в нём проверяют
Эта задание относится к повышенному уровню. Здесь мало знать формулы: нужно показать, что ты умеешь рассуждать. Обычно условие состоит из двух частей: в пункте «а» надо доказать утверждение (например, что отрезки равны, прямые параллельны или точки лежат на одной окружности), в пункте «б» — вычислить число, используя то, что доказано или построено.
Нумерация и состав заданий в профильной математике могут меняться от года к году, поэтому не опирайся на чужие пересказы. Актуальную структуру работы, формулировки и систему оценивания смотри в демоверсии и спецификации на сайте ФИПИ (fipi.ru). Как с ними работать, подробно описано в статье о демоверсиях.
Ответ в вычислительной части — число, но одно число без решения не считается полноценным ответом: проверяющие оценивают ход рассуждений.
Вся теория для 18 задания ЕГЭ математика профиль
Не нужно учить всю школьную геометрию подряд. Достаточно уверенно владеть набором инструментов, которые встречаются в планиметрических задачах чаще всего. Составь для себя краткий конспект и проговаривай каждое утверждение вместе с условиями, при которых оно работает.
- Треугольники: признаки равенства и подобия, теорема Пифагора, теоремы синусов и косинусов, свойства медианы, биссектрисы и высоты, средняя задание.
- Окружность: вписанные и центральные углы, касательная и радиус в точке касания, равенство отрезков касательных, теорема о произведении отрезков хорд и секущих.
- Вписанные и описанные четырёхугольники: признак вписанного (сумма противоположных углов) и описанного (суммы противоположных сторон) четырёхугольника.
- Параллелограмм, ромб, трапеция: свойства диагоналей, углов, средней задания.
- Площади: через основание и высоту, через две стороны и синус угла между ними, через радиус вписанной окружности и полупериметр, формула Герона.
- Координаты и векторы как запасной вариант, если чистая геометрия не даётся.
Пример задания из банка «Ранга»
Этот пример не из планиметрии, но он тренирует привычку, которая нужна и в 18 задании: внимательно сопоставлять условия и фиксировать ответ строго в требуемой форме. Реши его сам, а потом сверься с ответом и проверь каждое соответствие.
Условие. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установи соответствие между неравенствами и их решениями. НЕРАВЕНСТВА: А) 2x − 6 > 0; Б) 2x − 6 < 0; В) 6 − 2x ≥ 0; Г) 2x + 6 ≥ 0. РЕШЕНИЯ: 1) (−∞; 3]; 2) [−3; +∞); 3) (3; +∞); 4) (−∞; 3). В ответе запиши номера решений для букв А, Б, В, Г подряд, без пробелов и запятых.
Показать ответ
Ответ: 3412
Как решать 18 задание ЕГЭ математика профиль: пошаговый план
Один и тот же порядок действий помогает не теряться в условии. Отработай его на десятке задач, и он станет привычкой.
- Прочитай условие два раза и выпиши все данные в краткой записи: что дано, что нужно доказать, что найти.
- Сделай крупный аккуратный чертёж. Отметь равные отрезки и углы, прямые углы, параллельные прямые. Не рисуй частный случай: треугольник не должен случайно получиться равнобедренным.
- Подумай, какие дополнительные построения помогут: высота, середина отрезка, продолжение стороны, радиус в точку касания, диагональ.
- Для доказательства иди от условия к цели и обратно: спроси себя, что нужно знать, чтобы утверждение было верным, и выясни, можно ли это получить из данных.
- Запиши доказательство по шагам, каждый шаг с причиной: «так как ... по признаку ...», «следовательно ...».
- В пункте «б» используй результат пункта «а», если это возможно. Часто он и есть ключ к вычислению.
- Проверь ответ: подходит ли он по смыслу (длина положительна, угол не больше допустимого, площадь согласуется с чертежом).
18 задание ЕГЭ математика профиль: критерии оценивания
Критерии публикует ФИПИ вместе с демоверсией и методическими материалами, и именно их стоит читать, а не пересказы. Общая логика такая: эксперты оценивают отдельно обоснованность доказательства и верность вычисления. Поэтому за решение, в котором доказательство выполнено, а вычисление содержит ошибку, можно получить часть баллов, и наоборот.
Сколько баллов даёт задание и как они переводятся в итоговую оценку, смотри в официальных документах: не запоминай цифры с форумов. Зависимость итогового результата от первичных баллов разобрана в статье о шкале баллов по математике.
Важный практический вывод: даже если ты не видишь полного решения, оформи то, что сумел обосновать. Верно доказанный пункт «а» — самостоятельный результат.
Типичные ошибки в доказательстве и вычислении
Большинство потерь связано не с незнанием теорем, а с небрежностью в рассуждениях. Вот что чаще всего ломает решение.
- Вывод «по чертежу»: равенство или перпендикулярность считаются очевидными, хотя из условия они не следуют.
- Использование того, что нужно доказать (круговое рассуждение), например, принимают точку за центр окружности без обоснования.
- Применение признака без проверки всех его условий: подобие по двум углам, но один из углов не обоснован.
- Рассмотрение только одного случая расположения точек, когда по условию возможны два (например, высота падает вне треугольника).
- Арифметические ошибки при подстановке в формулы площади или в теорему косинусов.
- Ответ не в той форме: не упрощён корень или остался неточный десятичный вид, хотя ожидается точное значение.
Как проверить себя и тренироваться без спешки
После решения перечитай доказательство глазами проверяющего: каждое утверждение либо дано в условии, либо следует из теоремы, которую ты назвал. Если в цепочке есть шаг «и так понятно», допиши обоснование.
Тренируйся от простого к сложному: сначала задачи на один приём (равенство треугольников, касательная к окружности), затем комбинированные. Решай с таймером, но разбирай не только ответ, а и ход решения: полезно сравнить своё доказательство с эталонным и найти, где у тебя пропущена причина.
Для вычислительных навыков удобен тренажёр с автоматической проверкой ответа, например, на «Ранге» в разделе профильной математики, а бесплатные задания с ответами есть и в отдельной подборке. Общий план занятий по предмету описан в статье о подготовке к профильной математике.
Если ты только начинаешь, ставь себе небольшую цель на неделю: например, разобрать три задачи на вписанные углы и записать их доказательства полностью. Регулярность работает лучше, чем разовый марафон.
18 задание ЕГЭ математика профиль 2025 и 2026: как следить за изменениями
Формат и содержание заданий могут уточняться, поэтому ориентироваться стоит на актуальные документы, а не на материалы прошлых лет. Открой на сайте ФИПИ демоверсию, спецификацию и кодификатор для своего года, сравни формулировки с теми, которые ты уже решал, и отметь, какие темы в них упоминаются.
Старые варианты по-прежнему пригодны для тренировки приёмов: теоремы планиметрии не меняются. Но оформление и требования к решению сверяй с актуальными критериями. Если в формулировке встретилось незнакомое требование, лучше разобрать его заранее, чем впервые увидеть на экзамене.
Частые вопросы
Сколько баллов дают за 18 задание ЕГЭ математика профиль?
Точное число первичных баллов за задание и правила их начисления указаны в критериях ФИПИ (fipi.ru) для твоего года. Не опирайся на цифры из неофициальных источников: проверь документы перед началом подготовки.
Можно ли получить баллы, если решил только доказательство?
Как правило, проверяющие оценивают части решения отдельно, и обоснованное доказательство засчитывается. Конкретную схему смотри в критериях оценивания на сайте ФИПИ, а на тренировках оформляй каждую часть полностью.
С чего начать, если геометрия даётся плохо?
Начни с чертежа и базовых теорем: признаки равенства и подобия, свойства углов в окружности. Решай по одной простой задаче в день и записывай доказательство словами, а не только формулами.
Нужно ли учить формулы наизусть?
Ключевые формулы площади и теоремы синусов и косинусов лучше помнить без подсказок: на экзамене нет времени их выводить. Но важнее понимать, когда формула применима, и уметь это обосновать в записи.
Где найти разбор типовых заданий?
Разборы есть в методических материалах ФИПИ и в открытых банках заданий. Хороший способ учиться: сначала решить самому, потом сравнить доказательство с эталонным и найти пропущенные шаги.
Полезно по теме
Читать дальше
Проверить себя в тренажёре
Открывается тренировочное задание в формате ЕГЭ: условие видно сразу, краткий ответ проверяется без регистрации.
Решить задание в тренажёреМатериал — разъяснение «Ранг». Официальные правила экзамена, расписание, шкалы баллов и перечни заданий публикуют ФИПИ (fipi.ru) и Рособрнадзор (obrnadzor.gov.ru). Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.