8 задание ЕГЭ по математике (база): как решать

Кому: выпускнику · Обновлено 2026-10-25

Раздел: Математика (база) · Тема: Разборы заданий по номерам · Задание 8

Чтобы решить задание № 8 ЕГЭ по базовой математике на планиметрию, определи фигуру, отметь известные величины и выбери свойство, которое связывает их с искомым числом. Ниже разберём треугольники и четырёхугольники: какие формулы нужны, как находить промежуточные величины и как проверять вычисления.

Решить задание в тренажёре

Что нужно знать для задания № 8

В задачах на треугольники и четырёхугольники могут понадобиться длины сторон, углы, периметры и площади. Начинай с вопроса задачи: найти сторону и найти площадь — разные цели, даже если чертёж одинаковый. Выпиши искомую величину отдельно, чтобы не остановиться на промежуточном результате.

Доверяй условию и обозначениям, а не внешнему виду рисунка. Если угол кажется прямым, это ещё не основание применять теорему Пифагора. Прямой угол должен следовать из условия, специального значка или свойства фигуры. Аналогично нельзя считать стороны равными только потому, что они выглядят одинаковыми.

Для подготовки к экзамену текущего года сверяй содержание с демоверсией и спецификацией на fipi.ru: открой раздел ЕГЭ, выбери базовую математику и нужные документы. В демоверсии посмотри формулировки и оформление ответов, в спецификации — содержание проверяемых заданий. Обзор демоверсий из подборки ссылок поможет разобраться с этими документами.

• Повтори сумму углов треугольника, свойства равнобедренного и прямоугольного треугольников.
• Различай основание, высоту, боковую сторону и диагональ.
• Выучи формулы площади треугольника, прямоугольника, параллелограмма, ромба и трапеции.
• Перед вычислениями приводи длины к одинаковым единицам измерения.

Как решать 8 задание ЕГЭ по математике (база)

Используй один порядок действий для разных фигур. Он помогает заметить недостающее звено: например, для площади трапеции известны основания, но ещё нужна высота. Тогда сначала реши, как получить высоту из остальных данных.

Если подходящая формула не находится сразу, сделай дополнительное построение. Проведи высоту из вершины треугольника или трапеции, соедини противоположные вершины четырёхугольника. Подпиши получившиеся отрезки. Построение полезно, когда превращает исходную фигуру в знакомые треугольники или прямоугольник.

• Прочитай вопрос и запиши, что требуется найти: длину, угол, площадь или периметр.
• Перенеси данные на чертёж. Отметь равные стороны, параллельность и прямые углы, если они заданы.
• Запиши формулу с искомой величиной и проверь, какие значения в ней пока неизвестны.
• Найди недостающую величину через свойства фигуры, углы или теорему Пифагора.
• Подставь числа, выполни вычисления и ещё раз сопоставь результат с вопросом задачи.
• Проверь единицы и запиши ответ в формате, указанном в задании.

Треугольники: углы, высоты и теорема Пифагора

Сумма углов треугольника равна 180°. Если два угла равны 48° и 67°, третий равен 180 − 48 − 67 = 65°. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: при угле между равными сторонами 40° каждый угол при основании составляет (180 − 40) / 2 = 70°.

В прямоугольном треугольнике a² + b² = c², где a и b — катеты, c — гипотенуза. Гипотенуза находится напротив прямого угла. Если известны гипотенуза и катет, квадрат второго катета находят вычитанием: b² = c² − a². Складывать квадраты в этой ситуации нельзя.

Площадь треугольника: S = a × h / 2. Высота h должна быть перпендикулярна выбранному основанию a. У прямоугольного треугольника катеты перпендикулярны, поэтому S = a × b / 2. У равнобедренного треугольника высота к основанию делит это основание пополам — так появляются два прямоугольных треугольника.

• Перед применением теоремы Пифагора найди прямой угол и подпиши гипотенузу.
• Если проводишь высоту к основанию равнобедренного треугольника, используй половину основания в каждом полученном треугольнике.
• Проверяй пару «основание — высота»: произвольная боковая сторона высотой не является.

Четырёхугольники: какую формулу выбрать

Сначала установи вид четырёхугольника по условию. У прямоугольника все углы прямые, поэтому диагональ делит его на два прямоугольных треугольника. У параллелограмма противоположные стороны равны и параллельны, но соседние стороны не обязательно перпендикулярны. Поэтому произведение соседних сторон обычно не даёт его площадь.

У трапеции основания — параллельные стороны, а высота — перпендикулярное расстояние между ними. В прямоугольной трапеции одна боковая сторона является высотой. В равнобедренной трапеции после проведения двух высот у большего основания остаются равные отрезки: каждый равен половине разности оснований.

У ромба все стороны равны, а диагонали перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Это позволяет находить сторону по половинам диагоналей с помощью теоремы Пифагора.

• Прямоугольник: S = a × b; P = 2 × (a + b).
• Квадрат: S = a²; P = 4 × a.
• Параллелограмм: S = a × h, где h проведена к стороне a.
• Ромб: S = d₁ × d₂ / 2, где d₁ и d₂ — диагонали.
• Трапеция: S = (a + b) × h / 2, где a и b — основания.

Два примера с промежуточным действием

Пример 1. Диагональ прямоугольника равна 10, одна сторона равна 6. Найди площадь прямоугольника. Обозначим неизвестную сторону через b. Диагональ — гипотенуза прямоугольного треугольника, поэтому b² = 10² − 6² = 100 − 36 = 64. Длина стороны положительна, значит b = 8. Теперь S = 6 × 8 = 48. Ответ: 48.

Проверка: 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10². Обе стороны меньше диагонали, что соответствует свойствам прямоугольника. Число 8 — промежуточный результат: в условии спрашивают площадь, поэтому записать его вместо 48 было бы ошибкой.

Пример 2. Основания прямоугольной трапеции равны 6 и 14, высота равна 6. Найди наклонную боковую сторону. Проведи из вершины меньшего основания высоту к большему. Получится прямоугольный треугольник с катетами 14 − 6 = 8 и 6. Искомая сторона равна квадратному корню из 8² + 6², то есть 10. Ответ: 10.

Здесь разность оснований целиком является катетом. Делить её пополам не нужно: такое действие подходит для другого построения — с двумя высотами в равнобедренной трапеции. Проверка: наклонная сторона 10 больше каждого из катетов 6 и 8.

Типичные ошибки и проверка ответа

Проверяй не только арифметику, но и выбранную модель. Правильно вычисленная площадь по неверной высоте всё равно даст ошибочный ответ. Вернись к чертежу: есть ли прямой угол между основанием и использованным отрезком?

Следи за единицами. Например, если основание равно 2 м, а высота — 30 см, сначала переведи основание в 200 см либо высоту в 0,3 м. Вопрос задачи определяет, в каких единицах нужен результат. Площадь выражают в квадратных единицах, длину — в обычных.

Не округляй промежуточные значения без необходимости. Сохраняй дробь или корень до конца вычислений: иногда неудобные выражения сокращаются. Если требуется округление, выполняй его по инструкции в условии.

• Гипотенуза должна быть длиннее каждого катета.
• Площадь и длина должны получиться положительными.
• Площадь треугольника равна половине произведения основания на соответствующую высоту: проверь, не потерялся ли делитель 2.
• Для периметра сложи длины всех сторон, включая найденные промежуточно.
• Перед записью ответа перечитай последнее предложение условия и проверь формат числа.

Как тренировать задание № 8

Начни с короткой диагностики: реши несколько задач на разные фигуры без подсказок. После проверки отметь причину каждой ошибки: не узнал свойство, выбрал неверную формулу, ошибся в вычислениях или записал промежуточное число. По этой записи будет понятно, что именно повторять.

Затем решай небольшими сериями: сначала прямоугольные треугольники, затем площади, после — трапеции и ромбы. Внутри серии меняй искомую величину. Например, в одной задаче находи площадь по основанию и высоте, в другой — высоту по площади и основанию.

На следующий день вернись к ошибочным задачам и реши их без просмотра разбора. Если снова возникла трудность, запиши словами первый неверный шаг и реши похожий пример. В «Ранге» можно потренироваться в заданиях по базовой математике с проверкой ответа или начать с бесплатного теста.

• После решения объясни одним предложением, почему выбранная формула подходит.
• Чередуй задачи с готовой высотой и задачи, где её нужно найти.
• Периодически смешивай разные фигуры, чтобы учиться выбирать способ решения самостоятельно.

Материал — разъяснение «Ранг». Официальные правила экзамена, расписание, шкалы баллов и перечни заданий публикуют ФИПИ (fipi.ru) и Рособрнадзор (obrnadzor.gov.ru). Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.