21 задание ЕГЭ база математика: как решать и разбор типов

Кому: выпускнику · Обновлено 2026-10-25

Раздел: Математика (база) · Тема: Разборы заданий по номерам · Задание 21

Задание № 21 базового ЕГЭ по математике — это задача на логику и свойства целых чисел. В условии обычно есть монеты, доски, прямоугольник или набор чисел, а решение сводится к уравнению в целых числах, перебору или оценке. Ниже — теория, шаги решения, разбор типичных сюжетов и способ тренировки.

Решить задание в тренажёре

Что проверяет 21 задание ЕГЭ по математике (база)

Это задание проверяет не формулы, а умение рассуждать. Нужно перевести текст на язык чисел, записать условие уравнением или неравенством и аккуратно перебрать варианты. Часто задача устроена в несколько вопросов: можно ли, а если можно, то как именно; сколько всего вариантов; какое значение наибольшее или наименьшее.

Точный формат, число вопросов и критерии оценивания смотри в демоверсии и спецификации на сайте ФИПИ (fipi.ru) для текущего года. Формат могут уточнять, поэтому не опирайся на старые разборы без проверки.

21 задание ЕГЭ математика база: теория, которую нужно знать

Для большинства задач достаточно школьной теории о целых числах. Вот короткая шпаргалка, которую стоит держать в голове.

• Чётность: сумма двух чётных или двух нечётных чисел чётна, сумма чётного и нечётного нечётна.
• Делимость: признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10; остаток при делении помогает отсекать невозможные варианты.
• Натуральные делители: чтобы найти все пары сторон прямоугольника с заданной площадью, выпиши все делители площади.
• Уравнение с двумя неизвестными в целых числах: выражай одну переменную через другую и проверяй, при каких значениях результат целый.
• Оценка: если нужно наибольшее или наименьшее значение, сначала оцени границы, потом покажи пример, при котором граница достигается.
• Среднее арифметическое: сумма равна среднему, умноженному на количество чисел.

Как решать 21 задание: пошаговый алгоритм

Один порядок действий подходит для любого сюжета. Если держаться его, меньше шансов запутаться.

• Выпиши, что известно и что нужно найти. Введи обозначения: x — количество монет одного вида, y — другого.
• Запиши условия как уравнения или неравенства. Не забудь ограничение: количества и длины здесь обычно целые и неотрицательные.
• Выбери способ: выразить одну переменную и перебрать, использовать чётность или делимость, либо оценить границы.
• Переберёшь варианты — делай это по порядку, чтобы ничего не пропустить, и записывай каждый.
• Проверь ответ подстановкой в исходный текст условия, а не в своё уравнение: так ловится ошибка при составлении уравнения.
• На вопрос «можно ли» отвечай прямо: «да» с примером или «нет» с обоснованием.

21 задание ЕГЭ математика база про монеты, доски и прямоугольник

Сюжеты в банке заданий ФИПИ меняются, но логика у них повторяется. Ниже три учебных примера, составленных для тренировки, а не взятых из банка.

Монеты. Можно ли набрать 37 рублей ровно десятью монетами по 2 и по 5 рублей? Пусть двухрублёвых x, пятирублёвых y. Тогда x + y = 10 и 2x + 5y = 37. Подставим x = 10 − y: 20 + 3y = 37, откуда 3y = 17, а это не целое число. Ответ: нельзя.

Доски. Доску длиной 100 см распилили на части по 7 см и по 12 см без остатка. Можно ли? Запишем 7a + 12b = 100 и переберём b: при b = 1…5 значение 100 − 12b равно 88, 76, 64, 52, 40, и ни одно не делится на 7. При b = 6 получаем 28 = 7 · 4. Ответ: можно, 4 части по 7 см и 6 частей по 12 см.

Прямоугольник. Стороны прямоугольника — натуральные числа, площадь 36. Какие периметры возможны? Пары сторон: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9, 6 и 6. Периметры: 74, 40, 30, 26, 24. Ключ к решению — полный перебор делителей площади.

Типичные ошибки в 21 задании

Большинство потерь связано не со сложностью математики, а с невнимательностью. Проверь себя по списку.

• Не учтено, что количество не может быть дробным или отрицательным.
• Перебор оборван раньше времени: найден один пример, а вопрос требовал найти все варианты или наибольший.
• Ответ «нельзя» дан без обоснования, просто потому что пример не нашёлся.
• Для наибольшего значения показан пример, но не доказано, что больше быть не может.
• Арифметическая ошибка при подстановке; поэтому проверяй результат по тексту условия.
• Не прочитан вопрос до конца: в задаче несколько пунктов, а решён один.

Как тренироваться: фипи, варианты и разбор ошибок

Начни с открытого банка заданий ФИПИ и демоверсии: там видно, как формулируются условия. Потом решай варианты по темам: сначала монеты и деление на части, затем прямоугольники и делители, затем задачи на оценку. Сделай для себя шпаргалку из приёмов (чётность, делимость, перебор по порядку) и дописывай её после каждой ошибки.

Для практики можно использовать тренажёр «Ранга»: ответ проверяется сразу, а решённые задания видно по темам. Еще пригодятся материалы из блога с бесплатными заданиями и ответами. После каждой ошибки записывай причину: не понял условие, ошибся в счёте или не знал приём. Через неделю возвращайся к этим же задачам и решай их заново без подсказок.

Материал — разъяснение «Ранг». Официальные правила экзамена, расписание, шкалы баллов и перечни заданий публикуют ФИПИ (fipi.ru) и Рособрнадзор (obrnadzor.gov.ru). Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.