7 задание ЕГЭ математика база: площади и объёмы

Кому: выпускнику · Обновлено 2026-10-25

Раздел: Математика (база) · Тема: Разборы заданий по номерам · Задание 7

В задания «Ранга» 7 задание ЕГЭ по математике (база) — это прикладная геометрия: площади и объёмы в жизненных ситуациях (плитка, краска, вода в сосуде, упаковка). Решается оно по короткой схеме: выписать нужную формулу, привести все величины к одним единицам, посчитать и проверить, что ответ подходит по смыслу. Ниже — теория, алгоритм, разбор примеров и типичные ошибки.

Решить задание в тренажёре

7 задание ЕГЭ математика база: что в нём проверяют

В этом задании нет сложных доказательств. Проверяют, умеешь ли ты перевести бытовую ситуацию на язык геометрии: найти площадь комнаты, объём бака, число плиток или банок краски, изменение уровня жидкости. Ответ — число, за верное решение даётся 1 первичный балл.

Чаще всего встречаются четыре типа ситуаций. Первый: площадь плоской фигуры (участок, стена, окно, плитка). Второй: объём тела (аквариум, бочка, коробка, цилиндрическая ёмкость). Третий: сравнение или масштабирование, когда размеры меняются в несколько раз. Четвёртый: перелив жидкости между сосудами или погружение детали в воду.

Точный формат экзамена, структуру работы и перечень проверяемых элементов смотри в документах ФИПИ (fipi.ru): кодификатор и спецификация для твоего года сдачи лежат в разделе с демоверсиями. Запрос про 2026 год сводится к тому же: открой документы именно того года, в котором ты сдаёшь, и сверь список тем.

7 задание ЕГЭ математика база теория: формулы, которые нужно знать

Справочных материалов с формулами на базовом экзамене рассчитывать не стоит — проверь это в инструкции к демоверсии на fipi.ru и выучи формулы наизусть. Список короткий, его реально освоить за несколько вечеров.

• Прямоугольник: S = a · b. Квадрат: S = a².
• Треугольник: S = a · h / 2, где h — высота к стороне a. Прямоугольный треугольник: S = половина произведения катетов.
• Параллелограмм: S = a · h. Трапеция: S = (a + b) / 2 · h.
• Круг: S = π · R², длина окружности L = 2 · π · R.
• Параллелепипед: V = a · b · c. Куб: V = a³.
• Призма и цилиндр: V = S основания · h; для цилиндра V = π · R² · h.
• Пирамида и конус: V = (1/3) · S основания · h.
• Шар: V = (4/3) · π · R³, площадь поверхности 4 · π · R².
• Подобие: если все размеры увеличили в k раз, площадь вырастет в k², а объём — в k³ раз.

Как решать 7 задание ЕГЭ математика база: алгоритм из четырёх шагов

Работай всегда в одном порядке — так меньше шансов потерять балл на невнимательности.

• Шаг 1. Прочитай условие и выдели, что именно спрашивают: площадь, объём, количество штук, во сколько раз, на сколько изменился уровень.
• Шаг 2. Выпиши данные и сразу приведи их к одним единицам: сантиметры в метры или наоборот, литры в кубические дециметры (1 л = 1 дм³).
• Шаг 3. Запиши формулу, подставь числа и считай по действиям, а не одной длинной строкой.
• Шаг 4. Проверь смысл: количество плиток или банок — целое число, объём не может быть отрицательным, а уровень воды в сосуде не может превысить его высоту.

Разбор 7 задания ЕГЭ математика база: примеры

Пример 1. Комнату размером 4 м на 5 м нужно покрыть плиткой со стороной 20 см. Сколько плиток потребуется? Площадь комнаты 4 · 5 = 20 м². Сторона плитки 0,2 м, её площадь 0,2 · 0,2 = 0,04 м². Делим: 20 / 0,04 = 500 плиток. Если бы мы не перевели сантиметры в метры, получили бы бессмысленное число — поэтому шаг 2 обязателен.

Пример 2. В цилиндрическом сосуде уровень воды равен 12 см. Воду перелили во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в 2 раза больше. Какой будет высота уровня? Объём воды не меняется. Площадь основания пропорциональна квадрату диаметра, значит, у второго сосуда она больше в 4 раза. Высота обратно пропорциональна площади основания: 12 / 4 = 3 см. Считать π и радиусы здесь не нужно — они сокращаются.

Пример 3. Аквариум имеет форму параллелепипеда 50 см на 40 см, вода стоит на высоте 30 см. В воду полностью погрузили камень объёмом 2000 см³. На сколько сантиметров поднимется уровень? Площадь дна 50 · 40 = 2000 см². Вытесненный объём равен объёму камня, значит, уровень вырастет на 2000 / 2000 = 1 см. Всегда проверяй, что вода не перельётся через край.

7 задание ЕГЭ математика база: производная здесь нужна?

Часто ищут «7 задание ЕГЭ математика база производная». В задания «Ранга» седьмое задание — это прикладная геометрия, и для него производная не требуется: достаточно формул площадей и объёмов и арифметики с единицами. Нумерация заданий и их содержание закреплены в демоверсии и кодификаторе на сайте ФИПИ, поэтому, если сомневаешься, какое задание что проверяет, сверься с официальным документом за свой год.

Если в твоей подготовке встречаются задачи на производную и графики, они относятся к другим темам. Не смешивай их с этим заданием: не усложняй себе жизнь там, где хватает умножения и деления.

Типичные ошибки и как их избежать

Большинство потерянных баллов в этом задании — не геометрические, а вычислительные и «единичные» ошибки. Вот что встречается чаще всего.

• Путаница единиц: площадь в квадратных метрах, а плитка в сантиметрах. Переводи всё в одну единицу до подстановки.
• Забытая 1/3 в объёме пирамиды и конуса или забытое деление на 2 в площади треугольника.
• Радиус вместо диаметра (и наоборот). Перечитай, что именно дано.
• Округление не в ту сторону: плиток и банок краски нужно целое число, и если получилось 12,3, брать надо 13.
• Попытка увеличить объём «в k раз» вместо k³ при подобии: площади растут как k², объёмы как k³.
• Ответ без проверки на смысл: отрицательный объём, уровень выше края сосуда.

Как тренироваться и проверять себя

Начни с формул: за день выпиши их на карточки и проверь себя вслух. Затем решай по 5–7 задач подряд на один тип: сначала только площади, потом объёмы, потом переливания. Для каждой задачи записывай решение полностью, включая перевод единиц, — так ты увидишь, на каком шаге чаще ошибаешься.

После этого перейди к смешанным вариантам и засекай время. Реальные открытые задания и демонстрационные варианты берут на fipi.ru, а потренироваться с автоматической проверкой ответа можно в тренажёре «Ранга» на странице математики базового уровня. Неверные ответы разбирай по причине: формула, единицы, арифметика или невнимательное чтение.

Материал — разъяснение «Ранг». Официальные правила экзамена, расписание, шкалы баллов и перечни заданий публикуют ФИПИ (fipi.ru) и Рособрнадзор (obrnadzor.gov.ru). Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.