Прототипы 17 задания ЕГЭ: математика, база
Прототипы 17 задания ЕГЭ по базовой математике — это уравнения, в которых нужно найти корень и записать ответ с учётом условия. Ниже разберём рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения: как выбрать способ решения, проверить ограничения и не потерять нужный корень.
17 задание ЕГЭ по базовой математике: порядок решения
Начинай с вопроса задачи. Формулировки «найди корень», «укажи больший корень» и «найди наименьший положительный корень» требуют разного отбора ответа. Даже правильно решённое уравнение не поможет, если перепутать больший корень с положительным: например, среди −5 и −2 больший корень равен −2.
Тип уравнения определяй по положению неизвестного. Переменная в знаменателе требует исключить его нули; под квадратным корнем — проверить неотрицательность выражения; внутри логарифма — положительность аргумента. Если неизвестное находится в показателе степени, попробуй привести обе части к одному основанию.
Номер и содержание задания сверяй с документами своего года сдачи. На сайте ФИПИ открой раздел «Демоверсии, спецификации, кодификаторы», выбери математику и базовый уровень. В спецификации посмотри проверяемые умения, в демоверсии — формулировки и правила записи ответа. Если документ обозначен как проект, учитывай его статус и проверяй обновления.
- Прочитай, какой именно корень требуется записать, и отметь это рядом с решением.
- Выпиши ограничения: допустимые значения переменной называют областью допустимых значений, или ОДЗ.
- Выбери преобразование по виду уравнения и найди все подходящие кандидаты.
- Подставь кандидатов в исходное уравнение, затем выбери ответ по условию.
Рациональные уравнения: скобки, квадрат и дробь
В линейном уравнении раскрой скобки, собери слагаемые с неизвестным в одной части, числа — в другой. Пример: 3(2x − 1) = 15. Делим обе части на 3: 2x − 1 = 5. Получаем 2x = 6, значит, x = 3. Проверяем: 3 · (6 − 1) = 15.
Квадратное уравнение удобно сначала попробовать разложить на множители. Для x² − 5x + 6 = 0 нужны два числа, сумма которых равна 5, а произведение — 6. Это 2 и 3, поэтому (x − 2)(x − 3) = 0. Корни: 2 и 3. Если требуется больший, записывай 3. Если разложение не получается, используй дискриминант.
В дробном уравнении (x² − 9)/(x − 3) = 0 сначала запиши x ≠ 3. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Из x² − 9 = 0 получаются −3 и 3, но подходит только −3.
- При раскрытии скобок после минуса меняй знак каждого слагаемого внутри.
- Не дели обе части на выражение с x, пока не проверишь, может ли оно равняться нулю: так можно потерять корень.
- После сокращения дроби сохраняй ограничения исходного знаменателя. Исчезнувший знаменатель не делает запрещённое значение допустимым.
Корни и степени: когда появляются лишние решения
Запись sqrt(A) означает квадратный корень из A. В уравнении sqrt(2x + 7) = 5 сначала получаем ограничение 2x + 7 ≥ 0. Возводим обе части в квадрат: 2x + 7 = 25, откуда x = 9. Проверка: sqrt(25) = 5. Корень подходит.
Если справа тоже стоит выражение с неизвестным, проверь его знак. Для sqrt(x + 6) = x нужны одновременно x + 6 ≥ 0 и x ≥ 0, потому что квадратный корень неотрицателен. После возведения в квадрат получаем x + 6 = x², то есть (x − 3)(x + 2) = 0. Кандидат −2 не подходит, а x = 3 проходит проверку.
В показательном уравнении 2^(x + 1) = 16 представь 16 как 2^4. При одинаковом положительном основании, отличном от 1, равенство степеней означает равенство показателей: x + 1 = 4, поэтому x = 3.
- Возведение в квадрат может добавить посторонние корни: проверяй их в исходной записи.
- При работе со степенями используй свойства умножения и деления: например, 2^x · 2^3 = 2^(x + 3).
- Если основание — дробь, перепиши правую часть через него: (1/3)^x = 9 даёт x = −2.
17 задание ЕГЭ по базовой математике: логарифмы
Логарифм отвечает на вопрос: в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить аргумент? Здесь запись log_a(b) означает логарифм числа b по основанию a. Равенство log_a(b) = c равносильно a^c = b, если a > 0, a ≠ 1 и b > 0.
Разберём log_3(x − 2) = 2. Сначала ОДЗ: x − 2 > 0, то есть x > 2. По определению логарифма x − 2 = 3^2 = 9. Следовательно, x = 11. Проверка: аргумент равен 9, он положителен; log_3(9) = 2.
Другой прототип — равенство логарифмов с одинаковым основанием: log_2(x + 3) = log_2(7 − x). Ограничения: x > −3 и x < 7. Приравниваем аргументы: x + 3 = 7 − x, откуда x = 2. Оба аргумента становятся равны 5, поэтому решение подходит.
Отрицательное значение логарифма допустимо. Например, log_2(x) = −3 означает x = 2^(−3) = 1/8 = 0,125. Аргумент положителен, хотя результат вычисления логарифма отрицателен.
- Не путай log_3(x) = 2 с x = 3 · 2: здесь нужно возведение в степень.
- Для каждого логарифма отдельно проверяй положительность аргумента.
- Не заменяй log_a(u + v) суммой log_a(u) + log_a(v): такого свойства нет.
- Если основание зависит от x, дополнительно проверь его положительность и неравенство единице.
Тригонометрические уравнения: как отобрать корень
Тригонометрические уравнения тоже указаны среди проверяемых умений для задания № 17. В них важно различать значение функции и её аргумент. Например, из sin(t) = 0 следует t = pi · k, где k — любое целое число, а pi обозначает число π. Углы в такой записи выражены в радианах.
Рассмотрим sin(pi · x / 6) = 0 с требованием найти наименьший положительный корень. Получаем pi · x / 6 = pi · k, затем x = 6k. При k = 0 получается ноль, но он не положительный. При k = 1 получаем 6; остальные положительные значения больше. Ответ: 6.
Проверяем исходное выражение: при x = 6 аргумент равен pi, а sin(pi) = 0. Одной подстановки недостаточно для отбора: она подтверждает, что число подходит, но наименьший положительный корень нужно обосновать через все решения.
- Сначала вырази аргумент функции, затем найди x.
- Отдельно примени требование о знаке корня или принадлежности промежутку.
- Не смешивай градусы и радианы в одном решении.
Как проверить себя и организовать тренировку
Проверка должна повторять исходное условие. Если решал дробное уравнение, вычисли знаменатель; если логарифмическое — проверь аргументы; если иррациональное — сравни обе части до возведения в квадрат. После этого ещё раз прочитай, какой корень требуется в ответе.
Для тренировки составь небольшую подборку разных типов. После каждой ошибки запиши её причину конкретно: «забыл x ≠ 3», «потерял минус при раскрытии скобок», «выбрал меньший корень». Затем реши похожий пример с другими числами и проверь, повторилась ли ошибка.
В «Ранг» можно потренироваться на заданиях по базовой математике с проверкой ответа. Сначала запиши собственное решение, затем сверяй результат: так станет видно, на каком шаге возникло затруднение.
- Проверь себя без подсказки: 5x − 8 = 12; x² − 7x + 10 = 0, найди меньший корень; log_2(x − 1) = 3.
- Ответы для сверки после решения: 4; 2; 9. В логарифмическом примере дополнительно проверь x > 1.
- Возвращайся к ошибочному типу спустя несколько дней. Критерий освоения — ты можешь объяснить преобразования, ограничения и выбор ответа.
Частые вопросы
Нужно ли учить ответы на все прототипы?
Учи способы решения и признаки, по которым их выбирают. Замена чисел меняет ответ, но сохраняет принцип: например, логарифмическое уравнение решается через определение логарифма. После разбора реши аналогичный пример самостоятельно.
Обязательно ли записывать ОДЗ?
При решении уравнений с ограничениями записывай ОДЗ в черновике: это помогает отсеять недопустимые значения. Формат ответа в бланке проверяй по инструкции к работе. Сокращение дроби или возведение в квадрат не отменяет исходных ограничений.
Как решать логарифмы с основанием меньше единицы?
Используй то же определение: log_a(b) = c означает b = a^c. Например, log_0,5(x) = 2 даёт x = 0,25. Основание положительно и отлично от 1, аргумент тоже положителен.
Что делать, если получилось несколько корней?
Сначала исключи значения, не подходящие исходному уравнению. Затем выполни требование задачи: выбери больший, меньший или корень из указанного промежутка. Не записывай несколько чисел, если требуется одно.
Достаточно ли одного примера из демоверсии?
Один пример показывает конкретную формулировку, но не охватывает все проверяемые умения. Сверь темы со спецификацией и подбери упражнения по разным видам уравнений в открытом банке ФИПИ. В подборке проверяй, что выбран именно базовый уровень.
Полезно по теме
Читать дальше
Проверить себя в тренажёре
Открывается тренировочное задание в формате ЕГЭ: условие видно сразу, краткий ответ проверяется без регистрации.
Решить задание в тренажёреМатериал — разъяснение «Ранг». Официальные правила экзамена, расписание, шкалы баллов и перечни заданий публикуют ФИПИ (fipi.ru) и Рособрнадзор (obrnadzor.gov.ru). Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.