Все типы 12 задания ЕГЭ по математике базового уровня

Кому: выпускнику · Обновлено 2026-10-25

Раздел: Математика (база) · Тема: Разборы заданий по номерам · Задание 12

Чтобы освоить все типы 12 задания ЕГЭ по математике базового уровня, тренируй сравнение чисел, определение знаков выражений и оценку значений по известным границам. Ниже — основные учебные форматы, правила решения и пример, в котором видно, как использовать неравенство без угадывания.

Решить задание в тренажёре

12 задание ЕГЭ по математике базового уровня: что проверяют

Задание № 12 связано с числовыми неравенствами и оценками. Нужно понимать, какое число больше, где оно находится на координатной прямой и какие выводы следуют из заданного промежутка. Например, из 2 < a < 3 можно определить знак a − 3, хотя точное значение a неизвестно.

Для подготовки удобно разделить материал на пять форматов: расположение и сравнение чисел, знаки выражений, оценка значений, преобразование неравенств и установление соответствия. Это учебная группировка, а не официальный закрытый перечень формулировок: несколько приёмов могут встретиться в одном условии.

Актуальный формат сверяй на fipi.ru: открой раздел ЕГЭ, затем демоверсии, спецификации и кодификаторы, выбери математику базового уровня и документы текущего года. Найди задание № 12 в демоверсии, посмотри способ записи ответа и проверь описание содержания в спецификации. Для дополнительной практики используй открытый банк заданий.

• Сначала установи, что дано: точное число, промежуток или положение точки.
• Затем определи, что требуется: сравнить, найти знак, выбрать утверждения или установить соответствие.
• Перед вычислениями прочитай инструкцию к ответу: число, номер варианта и последовательность цифр записываются по-разному.

Сравнение чисел и точки на координатной прямой

На координатной прямой больше то число, которое расположено правее. Перед сравнением проверь направление оси, положение нуля и цену деления. Отрицательные числа сравнивай с учётом знака: −2,7 < −2,3, потому что −2,7 находится левее.

Дроби удобно приводить к общему знаменателю или сравнивать перекрёстные произведения, предварительно сделав знаменатели положительными. Например, 5/8 < 7/10: произведение 5 · 10 равно 50, а 7 · 8 — 56. При переводе в десятичную запись не округляй раньше времени: близкие числа могут оказаться по разные стороны отмеченной точки.

Для квадратных корней ищи соседние квадраты. Из 9 < 13 < 16 следует 3 < √13 < 4. Если нужна более точная оценка, проверь десятые: 3,6² = 12,96, поэтому 3,6 < √13 < 3,7. Для отрицательного корня порядок меняется: −3,7 < −√13 < −3,6.

• Сначала раздели числа на отрицательные, ноль и положительные.
• Сравни числа внутри каждой группы подходящим способом.
• При установлении соответствия сначала упорядочь числа, затем сопоставь их точкам слева направо.

Знаки выражений: сумма, произведение и частное

Начинай со знаков отдельных частей выражения. Если a < 0 и b > 0, то ab < 0 и a/b < 0. Но знак суммы a + b по этим сведениям определить нельзя: результат зависит от модулей чисел.

Например, при a = −5 и b = 2 сумма отрицательна, а при a = −1 и b = 2 положительна. Значит, утверждение «сумма отрицательного и положительного чисел положительна» неверно без дополнительных условий. Чтобы опровергнуть утверждение, достаточно одного допустимого контрпримера.

Разность удобно связывать с порядком чисел: если a < b, то a − b < 0. У произведения сначала определяй знак каждого множителя. При 2 < a < 3 выражение (a − 2)(a − 3) отрицательно: первый множитель положительный, второй отрицательный.

• Два множителя одинакового знака дают положительное произведение, разных знаков — отрицательное.
• В частном отдельно проверь, что знаменатель не равен нулю.
• Наличие положительного слагаемого ещё не делает всю сумму положительной.

Оценка значения: квадраты, обратные числа и целые границы

Если известно 2 < a < 3, можно получить границы для других выражений. Например, 5 < a + 3 < 6 и 4 < a² < 9. Каждое действие требует проверки: правило, подходящее для положительных чисел, нельзя автоматически переносить на промежуток с отрицательными.

При −3 < a < −2 квадрат удовлетворяет неравенству 4 < a² < 9. Здесь число, расположенное левее, имеет больший квадрат. Если промежуток пересекает ноль, учти возможность нулевого значения: из −2 < a < 3 следует 0 ≤ a² < 9. Нижняя граница включается, потому что a может быть равно нулю.

Для положительных обратных чисел порядок меняется: из 2 < a < 3 получаем 1/3 < 1/a < 1/2. Перед переходом к обратным величинам обязательно проверь знак и отсутствие нуля. Промежуток, содержащий ноль, нельзя преобразовать таким способом целиком.

• Чтобы найти целые числа в промежутке, выпиши подходящие значения и проверь границы.
• При 3 < x < 7 возможны целые значения 4, 5 и 6.
• При 3 ≤ x < 7 добавляется 3, но число 7 по-прежнему не подходит.

Преобразование неравенств без ошибок со знаком

Прибавление или вычитание одного числа из обеих частей сохраняет направление неравенства. Умножение и деление на положительное число тоже сохраняют знак, а на отрицательное — меняют его на противоположный. Например, из a < 4 следует −2a > −8.

В двойном неравенстве действие выполняют со всеми тремя частями. Если 1 < a < 4, то после умножения на −2 получаем −2 > −2a > −8. Для привычного чтения слева направо перепиши результат: −8 < −2a < −2.

Нельзя умножать неравенство на выражение с неизвестным знаком и сохранять прежнее направление без проверки. Также нельзя произвольно вычитать два неравенства почленно: сначала нужно обосновать, какие границы получит разность.

• Записывай преобразование отдельной строкой, чтобы видеть изменение знаков.
• При умножении или делении отмечай знак множителя либо делителя.
• Проверяй, сохранились ли строгие и нестрогие границы.

Прототип 12 задания ЕГЭ по математике: разбор примера

Учебный пример: известно, что 2 < a < 3. Нужно выбрать верные утверждения: 1) a − 3 < 0; 2) a² > 9; 3) 1/a < 1/2; 4) (a − 2)(a − 3) > 0. По условию примера ответ записывается номерами верных утверждений в порядке возрастания.

Первое утверждение верно: a меньше 3, поэтому a − 3 отрицательно. Второе неверно: a положительно и меньше 3, следовательно, a² < 9. Третье верно: из a > 2 при положительном a следует 1/a < 1/2.

Четвёртое утверждение неверно. Множитель a − 2 положителен, а a − 3 отрицателен, поэтому их произведение меньше нуля. Верны утверждения 1 и 3; ответ в указанном формате — 13.

Для быстрой проверки можно взять a = 2,5. Однако одна подстановка не доказывает утверждение для всего промежутка: она помогает обнаружить ошибку. Обоснование должно опираться на заданные границы.

• Разбирай каждое утверждение отдельно.
• Рядом записывай короткое основание: граница, правило знаков или свойство обратных чисел.
• После решения повторно сверь порядок цифр с инструкцией.

Как тренироваться и проверять себя

Начни с нескольких заданий каждого формата, затем перемешай их. После ошибки записывай её причину конкретно: «не поменял знак при делении на отрицательное число», «включил строгую границу», «сделал вывод по одной подстановке». Перед следующей тренировкой реши похожий пример и объясни правило вслух.

В Ранге можно потренироваться по математике базового уровня с проверкой ответа. Ошибочный ответ используй как повод восстановить ход решения: найди первый неверный переход, исправь его и заново проверь запись результата.

• Все ли ограничения из условия использованы?
• Не делил ли ты на ноль или на выражение с неизвестным знаком?
• Учёл ли ты знак чисел перед возведением в квадрат?
• Не заменил ли точное сравнение грубым округлением?
• Записан ли ответ именно в требуемом формате?

Материал — разъяснение «Ранг». Официальные правила экзамена, расписание, шкалы баллов и перечни заданий публикуют ФИПИ (fipi.ru) и Рособрнадзор (obrnadzor.gov.ru). Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.