Задание 19: Задачи с параметром

Теория к заданию № 19 ЕГЭ-2027 по профильной математике: коротко правило, приём решения по шагам, два разобранных примера из банка «Ранга» и ошибки, на которых теряют балл.

Что проверяет задание 19

Что проверяет
Умение решать уравнения, неравенства и системы с параметром, используя свойства функций, графики и равносильные преобразования; 4 балла.
Баллы
до 4 балла из 33 первичных
Уровень
высокий
Время
около 35 минут (примерное время по спецификации ФИПИ; на весь экзамен — 235 минут)
Формат
часть 2, полное решение в бланке № 2

Правило и теория

  • Параметр — число, от которого зависит количество и расположение решений; ответ — множество значений параметра.
  • Графический метод: запиши уравнение в виде f(x) = g(a) или как семейство линий в плоскости (x; a) или (x; y) и следи за числом точек пересечения.
  • Квадратный трёхчлен: число корней по дискриминанту; расположение корней относительно точки — по знаку f(точки), вершине и D (теорема Виета помогает).
  • Уравнение вида f(x)·√g(x) = 0 равносильно: g(x) = 0 или (f(x) = 0 и g(x) > 0) — с учётом области определения корня.
  • Модули задают «ломаные» графики: |x| + |y| = c — квадрат с вершинами (±c; 0), (0; ±c); x2 + y2 = r2 — окружность.
  • Граничные значения параметра (касание, прохождение через вершину) проверяют отдельно.

Приём решения по шагам

  1. Найди область определения и упрости задачу (разложение на множители, выделение полного квадрата).
  2. Выбери метод: аналитический (дискриминант, Виета) или графический (семейство кривых).
  3. Найди «особые» значения параметра — касание, прохождение через особые точки, совпадение корней.
  4. Исследуй промежутки между особыми значениями и проверь сами особые значения.
  5. Собери ответ и проверь пару значений параметра подстановкой.

Два разобранных примера из банка «Ранга»

Сначала реши сам — потом раскрой ответ и разбор. Ответы взяты из банка, по которому работает тренажёр, и проверены.

Пример 1

Найди все значения a, при каждом из которых уравнение (x² − (a + 2)x + 2a)·√(4 − x) = 0 имеет ровно два различных корня.

Показать ответ и разбор

Ответ: a ∈ {2} ∪ [4; +∞)

Область определения уравнения: 4 − x ≥ 0, то есть x ≤ 4. На ней уравнение равносильно совокупности: √(4 − x) = 0 или (x − 2)(x − a) = 0 (разложение проверяется раскрытием скобок: x² − ax − 2x + 2a). Из первого: x = 4 — корень при любом a. Из второго: x = 2 — корень при любом a (2 ≤ 4) и отличен от 4. Число x = a является корнем, только если a ≤ 4. Итак, при любом a есть два различных корня 2 и 4. Третий корень x = a появляется, если a ≤ 4 и a отлично от 2 и 4, то есть при a < 4, a ≠ 2. Значит, ровно два различных корня уравнение имеет при a = 2 (тогда x = a совпадает с 2), при a = 4 (x = a совпадает с 4) и при a > 4 (x = a не входит в область определения). Ответ: a ∈ {2} ∪ [4; +∞).

Карточка банка «Ранга» math_profile-19-22 — авторское тренировочное задание в формате ЕГЭ, ключ проверен. Решить похожее в тренажёре

Пример 2

Найди все значения a, при каждом из которых система уравнений x² + y² = a², |x| + |y| = 2 имеет ровно восемь решений.

Показать ответ и разбор

Ответ: a ∈ (−2; −√2) ∪ (√2; 2)

Второе уравнение задаёт квадрат с вершинами (2; 0), (0; 2), (−2; 0), (0; −2). Первое при a ≠ 0 задаёт окружность с центром O(0; 0) радиуса ρ = |a|, при a = 0 — точку O, которая не лежит на квадрате (|0| + |0| ≠ 2), и решений нет. Расстояние от O до каждой стороны квадрата (например, до прямой x + y = 2) равно 2/√2 = √2, основание перпендикуляра — середина стороны, например (1; 1). Расстояние от O до вершин равно 2. Точки стороны удалены от O на расстояние от √2 (середина) до 2 (концы), причём каждое значение из (√2; 2) принимается ровно в двух точках стороны (по одной по обе стороны от середины). Поэтому: при ρ < √2 или ρ > 2 общих точек нет; при ρ = √2 окружность касается сторон в четырёх серединах — 4 решения; при √2 < ρ < 2 окружность пересекает каждую из четырёх сторон в двух точках, не являющихся вершинами, — 8 решений; при ρ = 2 окружность проходит через 4 вершины — 4 решения. Ровно восемь решений: √2 < |a| < 2. Ответ: a ∈ (−2; −√2) ∪ (√2; 2).

Карточка банка «Ранга» math_profile-19-23 — авторское тренировочное задание в формате ЕГЭ, ключ проверен. Решить похожее в тренажёре

Типичные ошибки

  • Не проверяют граничные значения параметра — частая причина 3 баллов вместо 4.
  • Забывают, что при a = 0 «квадратное» уравнение становится линейным.
  • Не учитывают область определения (корень, логарифм) и считают лишние корни.
  • Путают «ровно два корня» и «хотя бы два корня».

Тренироваться: 30 заданий этого номера

Тренажёр «Ранга»: условие, проверка ответа сразу и разбор по шагам. Первое задание — без регистрации, дальше — в кабинете ученика.

Решать задание 19

Кабинет ученика · Разбор задания 19: 10 примеров

Частые вопросы о задании 19

Сколько баллов дают за задание 19 ЕГЭ по профильной математике?
До 4 балла из 33 первичных баллов (проект спецификации КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ). Уровень сложности — высокий.
Сколько времени тратить на задание 19?
Примерное время выполнения по спецификации ФИПИ — 35 минут; на весь экзамен отводится 235 минут.
Что проверяет задание 19?
Умение решать уравнения, неравенства и системы с параметром, используя свойства функций, графики и равносильные преобразования; 4 балла.
Где потренироваться на задании 19?
В тренажёре «Ранга» по этому номеру сейчас 30 заданий с проверкой ответа и разбором; первое задание открывается без регистрации.

Источник: ФИПИ — демоверсии, спецификации, кодификаторы ЕГЭ, архив материалов 2027 года (проект спецификации и демоверсии КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ (опубликован как проект; в 2027 году заданий 20 вместо 19, максимальный первичный балл — 33)).

Тексты теории — авторские материалы «Ранга». Примеры — авторские тренировочные задания в формате ЕГЭ, не официальные задания ФИПИ. Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.