Математика, задание 19: Задачи с параметром

Задание 19 по проекту спецификации КИМ ЕГЭ 2027 года проверяет тему «Уравнения, неравенства и системы с параметром». Задание второй части с развёрнутым ответом, высокий уровень, 4 балла.

Подготовка с «Рангом»

«Ранг» — тренажёр ЕГЭ по номерам заданий: условие, проверка ответа сразу и разбор. Пробная неделя — бесплатно, без карты.

Начать пробную неделю — 7 дней бесплатно

Решить в тренажёре · Не знаешь, с какого задания начинать? Пройди бесплатный тест — 10 минут, без регистрации

Источник структуры: ФИПИ, документы ЕГЭ-2027 по математике, спецификация профильного уровня, приложение 1. Предварительно, сверка после утверждения.

Что проверяет задание 19

Тема задания: «Уравнения, неравенства и системы с параметром». Задание второй части с развёрнутым ответом, высокий уровень, 4 балла.

Как устроено задание

  • Уравнение, неравенство или система с параметром.
  • Нужно найти все значения параметра, при которых выполнено условие: решение одно, решений ровно два, решение есть на промежутке и так далее.

Как решать задание 19

  1. Выпиши область допустимых значений и упрости запись.
  2. Выбери способ: графический (семейство линий в координатах x и параметра) или аналитический (исследование квадратного трёхчлена, монотонности).
  3. Найди граничные значения параметра — моменты касания, прохождения через особые точки, смены числа решений.
  4. Проверь каждое граничное значение отдельно: входит оно в ответ или нет.
  5. Запиши ответ множеством значений параметра и обоснуй каждый переход.

За что ставят баллы в задании 19

Это задание второй части: работу читает эксперт и ставит баллы по шкале экзамена 2027 года. Наибольший балл за задание — 4. Проверяют не совпадение итога, а решение целиком, поэтому каждый переход нужно объяснить.

Ниже — ориентир по демоверсии. Точные условия частичного балла зависят от конкретного задания; смотри критерии в официальном комплекте выше.

4 из 4
Обоснованно получен верный ответ: найдено всё множество значений параметра, при которых выполняется условие задачи.
3 из 4
Рассуждение верное, но полученное множество значений параметра отличается от искомого конечным числом точек.
2 из 4
Рассуждение верное и найдены все граничные точки искомого множества, но само множество записано неверно или не полностью.
1 из 4
Задача верно сведена к исследованию уравнения, неравенства или графика, и найдена хотя бы одна граничная точка множества.
0 из 4
Решение не отвечает ни одному из условий выше. Ответ, угаданный по графику без обоснования, баллов не приносит.

Типичные ошибки в задании 19

  • Теряют граничные значения параметра или включают лишние.
  • Забывают про область допустимых значений после преобразований.
  • Читают ответ с графика без обоснования.

Практика задания 19

Авторские задачи с разбором и самопроверкой

Тренируем отдельные приёмы задания: это учебные примеры, а не полный вариант экзамена. Сначала запиши решение на бумаге, затем проверь вычисление и раскрой разбор. Самопроверка числа не заменяет оценку доказательства экспертом.

Дискриминант и границы

При каких значениях параметра a уравнение x² − 2ax + a + 2 = 0 имеет ровно два различных действительных корня?

Показать ответ и разбор

Ответ: a ∈ (−∞; −1) ∪ (2; +∞)

  1. Коэффициент при x² равен 1 при любом a; уравнение всегда квадратное. Два различных действительных корня существуют тогда и только тогда, когда D > 0.
  2. D = 4a² − 4a − 8 = 4(a − 2)(a + 1). Произведение положительно при a < −1 или a > 2.
  3. На границах a = −1 и a = 2 дискриминант равен нулю: корень один, поэтому границы исключаем.

Авторский учебный пример «Ранга», не официальное задание ФИПИ.

Модуль и число решений

Найди все a, при которых уравнение |x² − 4x + 3| = a имеет ровно четыре различных действительных решения.

Показать ответ и разбор

Ответ: a ∈ (0; 1)

  1. При a < 0 решений нет. При a = 0 получаем x = 1 и x = 3 — всего два корня.
  2. При a > 0 уравнение равносильно совокупности (x − 2)² = 1 + a и (x − 2)² = 1 − a. Первая ветвь даёт два корня всегда, вторая — два при a < 1, один при a = 1, ни одного при a > 1.
  3. При 0 < a < 1 корни ветвей не совпадают, поскольку их квадраты различны. Итого четыре корня только при 0 < a < 1; при a = 1 корней три.

Авторский учебный пример «Ранга», не официальное задание ФИПИ.

Замена переменной с ограничением

При каких a уравнение √(x + 2) = x − a имеет ровно одно действительное решение?

Показать ответ и разбор

Ответ: a = −9/4 или a > −2

  1. Положим t = √(x + 2) ≥ 0, тогда x = t² − 2. Получаем a = t² − t − 2 = (t − 1/2)² − 9/4.
  2. На t ≥ 0 функция убывает от −2 до −9/4, затем возрастает до бесконечности. Поэтому при a < −9/4 решений нет, при a = −9/4 одно, при −9/4 < a ≤ −2 два, а при a > −2 одно.
  3. Замена взаимно однозначна между x ≥ −2 и t ≥ 0. На границе a = −2 подходят t = 0 и t = 1, то есть x = −2 и x = −1; эту границу исключаем.

Авторский учебный пример «Ранга», не официальное задание ФИПИ.

Частые вопросы про задание 19

Что проверяет задание 19 ЕГЭ по математике (профиль)?
Тему «Уравнения, неравенства и системы с параметром». Задание второй части с развёрнутым ответом, высокий уровень, 4 балла.
Есть ли на странице примеры?
Да: три авторских учебных примера с ответами, пошаговым разбором и самопроверкой вычислений. Доказательство нужно записать самостоятельно и сверить с разбором.

Соседние задания

Задания на странице — авторские тренировочные, в формате ЕГЭ. Это не официальные задания ФИПИ и не их копии. Формулировки заданий приведены по проекту спецификации КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ (номера и темы заданий) и кодификатору ФИПИ ЕГЭ-2026 (проверяемые знания и умения); перед индексацией страницы сведения сверяются с публикациями ФИПИ и Рособрнадзора. Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.