Математика (профиль), задание 18 ЕГЭ: что проверяет и как решать

Линия 18 проверяет тему «Числа и их свойства (олимпиадная)». Ниже — порядок решения из пяти ступеней, 10 авторских примеров с ответом и разбором, а также ошибки, на которых чаще всего теряют этот номер.

Открыть тренажёр

Откроется тренировочное задание этой линии: условие видно сразу, краткий ответ проверяется без регистрации.

Решить в тренажёре

Не знаешь, с какой линии начинать? Пройди бесплатный тест — 10 минут, без регистрации

Что проверяет задание 18

Предмет
Математика (профиль)
Линия кодификатора
18 — Числа и их свойства (олимпиадная)
Что проверяют по школьной программе
пункт 3.3 перечня проверяемых знаний
Что нужно уметь
пункт 3.3 перечня требований к выпускнику
Что писать в ответе
развёрнутый ответ
Уровень линии
высокий уровень
Темы
теория чисел
Источник формулировки
кодификатор и спецификация ФИПИ 2026/2027 — официальные документы экзамена этого года

Как решать задание 18: пять ступеней

  1. Прочитай вопрос до конца и отметь, что требуется в ответе: развёрнутый ответ.
  2. Выпиши данные условия и отметь, чего не хватает. Тема линии — «Числа и их свойства (олимпиадная)»; работай в её понятиях: теория чисел.
  3. Выбери правило или алгоритм темы. Если правил несколько, проверь условие применимости каждого — это и отделяет верное решение от «похожего».
  4. Выполни действие и проверь ограничения: знак, диапазон, единицы, число объектов. Промежуточные величины не округляй.
  5. Запиши решение целиком: каждый переход с объяснением, а в конце — отдельной строкой ответ. Балл ставят за обоснование, а не за итог.

За что ставят баллы в задании 18

Это задание второй части: работу читает эксперт и ставит баллы по шкале экзамена 2026/2027 года. Наибольший балл линии — 2. Проверяют не совпадение итога, а решение целиком, поэтому каждый переход нужно объяснить.

2 из 2
Обоснованно получен верный ответ: использованы свойства делимости и остатков, составлена система сравнений или равносильная ей цепочка рассуждений, а минимальность натурального числа доказана.
1 из 2
Основной ход решения верен, но ответ отличается одной поправимой вычислительной оплошностью либо минимальность найденного числа обоснована неполно.
0 из 2
Решение не отвечает ни одному из условий выше. Верный ответ без обоснования делимости, остатков и минимальности баллов не приносит.

10 авторских примеров из банка «Ранга»

Условия составлены «Рангом», ответ у каждого примера посчитан и проверен вторым, независимым способом. Сначала реши — потом раскрой разбор.

Пример 1

Найди наименьшее натуральное число, которое при делении на 11 даёт остаток 2, а при делении на 15 — остаток 8.

Показать ответ и разбор

Ответ: 68

  1. Шаг 1. Запиши условие остатками: искомое N имеет вид N = 11·k + 2 и одновременно вид N = 15·n + 8, где k и n — целые неотрицательные.
  2. Шаг 2. Модули 11 и 15 взаимно просты, поэтому НОК(11; 15) = 165: все подходящие числа повторяются с шагом 165, и наименьшее натуральное среди них ровно одно.
  3. Шаг 3. Иди по числам вида 11·k + 2: 2, 13, 24, … — и на каждом проверяй остаток при делении на 15.
  4. Шаг 4. Первое число этой лестницы, у которого остаток по 15 равен 8, — это 68. Проверь оба условия: 68 = 11·6 + 2 и 68 = 15·4 + 8. Ответ: 68.
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (обратный элемент по модулю 15 с прямой формулой китайской теоремы об остатках и пересечение множествами двух прогрессий на периоде 165): оба дают 68.

Как сделан пример: условие собрано по авторскому образцу этой линии, ответ посчитан и сверен вторым способом. Авторское тренировочное задание, не задание ФИПИ.

Пример 2

Найди наименьшее натуральное число, которое при делении на 3 даёт остаток 2, а при делении на 4 — остаток 3.

Показать ответ и разбор

Ответ: 11

  1. Шаг 1. Запиши условие остатками: искомое N имеет вид N = 3·k + 2 и одновременно вид N = 4·n + 3, где k и n — целые неотрицательные.
  2. Шаг 2. Модули 3 и 4 взаимно просты, поэтому НОК(3; 4) = 12: все подходящие числа повторяются с шагом 12, и наименьшее натуральное среди них ровно одно.
  3. Шаг 3. Иди по числам вида 3·k + 2: 2, 5, 8, … — и на каждом проверяй остаток при делении на 4.
  4. Шаг 4. Первое число этой лестницы, у которого остаток по 4 равен 3, — это 11. Проверь оба условия: 11 = 3·3 + 2 и 11 = 4·2 + 3. Ответ: 11.
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (обратный элемент по модулю 4 с прямой формулой китайской теоремы об остатках и пересечение множествами двух прогрессий на периоде 12): оба дают 11.

Как сделан пример: условие собрано по авторскому образцу этой линии, ответ посчитан и сверен вторым способом. Авторское тренировочное задание, не задание ФИПИ.

Пример 3

Найди наименьшее натуральное число, которое при делении на 9 даёт остаток 8, а при делении на 14 — остаток 2.

Показать ответ и разбор

Ответ: 44

  1. Шаг 1. Запиши условие остатками: искомое N имеет вид N = 9·k + 8 и одновременно вид N = 14·n + 2, где k и n — целые неотрицательные.
  2. Шаг 2. Модули 9 и 14 взаимно просты, поэтому НОК(9; 14) = 126: все подходящие числа повторяются с шагом 126, и наименьшее натуральное среди них ровно одно.
  3. Шаг 3. Иди по числам вида 9·k + 8: 8, 17, 26, … — и на каждом проверяй остаток при делении на 14.
  4. Шаг 4. Первое число этой лестницы, у которого остаток по 14 равен 2, — это 44. Проверь оба условия: 44 = 9·4 + 8 и 44 = 14·3 + 2. Ответ: 44.
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (обратный элемент по модулю 14 с прямой формулой китайской теоремы об остатках и пересечение множествами двух прогрессий на периоде 126): оба дают 44.

Как сделан пример: условие собрано по авторскому образцу этой линии, ответ посчитан и сверен вторым способом. Авторское тренировочное задание, не задание ФИПИ.

Пример 4

Найди наименьшее натуральное число, которое при делении на 13 даёт остаток 2, а при делении на 16 — остаток 7.

Показать ответ и разбор

Ответ: 119

  1. Шаг 1. Запиши условие остатками: искомое N имеет вид N = 13·k + 2 и одновременно вид N = 16·n + 7, где k и n — целые неотрицательные.
  2. Шаг 2. Модули 13 и 16 взаимно просты, поэтому НОК(13; 16) = 208: все подходящие числа повторяются с шагом 208, и наименьшее натуральное среди них ровно одно.
  3. Шаг 3. Иди по числам вида 13·k + 2: 2, 15, 28, … — и на каждом проверяй остаток при делении на 16.
  4. Шаг 4. Первое число этой лестницы, у которого остаток по 16 равен 7, — это 119. Проверь оба условия: 119 = 13·9 + 2 и 119 = 16·7 + 7. Ответ: 119.
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (обратный элемент по модулю 16 с прямой формулой китайской теоремы об остатках и пересечение множествами двух прогрессий на периоде 208): оба дают 119.

Как сделан пример: условие собрано по авторскому образцу этой линии, ответ посчитан и сверен вторым способом. Авторское тренировочное задание, не задание ФИПИ.

Пример 5

Найди наименьшее натуральное число, которое при делении на 13 даёт остаток 7, а при делении на 15 — остаток 1.

Показать ответ и разбор

Ответ: 46

  1. Шаг 1. Запиши условие остатками: искомое N имеет вид N = 13·k + 7 и одновременно вид N = 15·n + 1, где k и n — целые неотрицательные.
  2. Шаг 2. Модули 13 и 15 взаимно просты, поэтому НОК(13; 15) = 195: все подходящие числа повторяются с шагом 195, и наименьшее натуральное среди них ровно одно.
  3. Шаг 3. Иди по числам вида 13·k + 7: 7, 20, 33, … — и на каждом проверяй остаток при делении на 15.
  4. Шаг 4. Первое число этой лестницы, у которого остаток по 15 равен 1, — это 46. Проверь оба условия: 46 = 13·3 + 7 и 46 = 15·3 + 1. Ответ: 46.
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (обратный элемент по модулю 15 с прямой формулой китайской теоремы об остатках и пересечение множествами двух прогрессий на периоде 195): оба дают 46.

Как сделан пример: условие собрано по авторскому образцу этой линии, ответ посчитан и сверен вторым способом. Авторское тренировочное задание, не задание ФИПИ.

Пример 6

Найди наименьшее натуральное число, которое при делении на 13 даёт остаток 6, а при делении на 15 — остаток 7.

Показать ответ и разбор

Ответ: 97

  1. Шаг 1. Запиши условие остатками: искомое N имеет вид N = 13·k + 6 и одновременно вид N = 15·n + 7, где k и n — целые неотрицательные.
  2. Шаг 2. Модули 13 и 15 взаимно просты, поэтому НОК(13; 15) = 195: все подходящие числа повторяются с шагом 195, и наименьшее натуральное среди них ровно одно.
  3. Шаг 3. Иди по числам вида 13·k + 6: 6, 19, 32, … — и на каждом проверяй остаток при делении на 15.
  4. Шаг 4. Первое число этой лестницы, у которого остаток по 15 равен 7, — это 97. Проверь оба условия: 97 = 13·7 + 6 и 97 = 15·6 + 7. Ответ: 97.
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (обратный элемент по модулю 15 с прямой формулой китайской теоремы об остатках и пересечение множествами двух прогрессий на периоде 195): оба дают 97.

Как сделан пример: условие собрано по авторскому образцу этой линии, ответ посчитан и сверен вторым способом. Авторское тренировочное задание, не задание ФИПИ.

Пример 7

Найди наименьшее натуральное число, которое при делении на 6 даёт остаток 1, а при делении на 11 — остаток 9.

Показать ответ и разбор

Ответ: 31

  1. Шаг 1. Запиши условие остатками: искомое N имеет вид N = 6·k + 1 и одновременно вид N = 11·n + 9, где k и n — целые неотрицательные.
  2. Шаг 2. Модули 6 и 11 взаимно просты, поэтому НОК(6; 11) = 66: все подходящие числа повторяются с шагом 66, и наименьшее натуральное среди них ровно одно.
  3. Шаг 3. Иди по числам вида 6·k + 1: 1, 7, 13, … — и на каждом проверяй остаток при делении на 11.
  4. Шаг 4. Первое число этой лестницы, у которого остаток по 11 равен 9, — это 31. Проверь оба условия: 31 = 6·5 + 1 и 31 = 11·2 + 9. Ответ: 31.
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (обратный элемент по модулю 11 с прямой формулой китайской теоремы об остатках и пересечение множествами двух прогрессий на периоде 66): оба дают 31.

Как сделан пример: условие собрано по авторскому образцу этой линии, ответ посчитан и сверен вторым способом. Авторское тренировочное задание, не задание ФИПИ.

Пример 8

Найди наименьшее натуральное число, которое при делении на 13 даёт остаток 6, а при делении на 19 — остаток 17.

Показать ответ и разбор

Ответ: 188

  1. Шаг 1. Запиши условие остатками: искомое N имеет вид N = 13·k + 6 и одновременно вид N = 19·n + 17, где k и n — целые неотрицательные.
  2. Шаг 2. Модули 13 и 19 взаимно просты, поэтому НОК(13; 19) = 247: все подходящие числа повторяются с шагом 247, и наименьшее натуральное среди них ровно одно.
  3. Шаг 3. Иди по числам вида 13·k + 6: 6, 19, 32, … — и на каждом проверяй остаток при делении на 19.
  4. Шаг 4. Первое число этой лестницы, у которого остаток по 19 равен 17, — это 188. Проверь оба условия: 188 = 13·14 + 6 и 188 = 19·9 + 17. Ответ: 188.
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (обратный элемент по модулю 19 с прямой формулой китайской теоремы об остатках и пересечение множествами двух прогрессий на периоде 247): оба дают 188.

Как сделан пример: условие собрано по авторскому образцу этой линии, ответ посчитан и сверен вторым способом. Авторское тренировочное задание, не задание ФИПИ.

Пример 9

Найди наименьшее натуральное число, которое при делении на 6 даёт остаток 1, а при делении на 19 — остаток 5.

Показать ответ и разбор

Ответ: 43

  1. Шаг 1. Запиши условие остатками: искомое N имеет вид N = 6·k + 1 и одновременно вид N = 19·n + 5, где k и n — целые неотрицательные.
  2. Шаг 2. Модули 6 и 19 взаимно просты, поэтому НОК(6; 19) = 114: все подходящие числа повторяются с шагом 114, и наименьшее натуральное среди них ровно одно.
  3. Шаг 3. Иди по числам вида 6·k + 1: 1, 7, 13, … — и на каждом проверяй остаток при делении на 19.
  4. Шаг 4. Первое число этой лестницы, у которого остаток по 19 равен 5, — это 43. Проверь оба условия: 43 = 6·7 + 1 и 43 = 19·2 + 5. Ответ: 43.
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (обратный элемент по модулю 19 с прямой формулой китайской теоремы об остатках и пересечение множествами двух прогрессий на периоде 114): оба дают 43.

Как сделан пример: условие собрано по авторскому образцу этой линии, ответ посчитан и сверен вторым способом. Авторское тренировочное задание, не задание ФИПИ.

Пример 10

Найди наименьшее натуральное число, которое при делении на 5 даёт остаток 1, а при делении на 19 — остаток 4.

Показать ответ и разбор

Ответ: 61

  1. Шаг 1. Запиши условие остатками: искомое N имеет вид N = 5·k + 1 и одновременно вид N = 19·n + 4, где k и n — целые неотрицательные.
  2. Шаг 2. Модули 5 и 19 взаимно просты, поэтому НОК(5; 19) = 95: все подходящие числа повторяются с шагом 95, и наименьшее натуральное среди них ровно одно.
  3. Шаг 3. Иди по числам вида 5·k + 1: 1, 6, 11, … — и на каждом проверяй остаток при делении на 19.
  4. Шаг 4. Первое число этой лестницы, у которого остаток по 19 равен 4, — это 61. Проверь оба условия: 61 = 5·12 + 1 и 61 = 19·3 + 4. Ответ: 61.
  5. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (обратный элемент по модулю 19 с прямой формулой китайской теоремы об остатках и пересечение множествами двух прогрессий на периоде 95): оба дают 61.

Как сделан пример: условие собрано по авторскому образцу этой линии, ответ посчитан и сверен вторым способом. Авторское тренировочное задание, не задание ФИПИ.

Типичные ошибки в задании 18

  • Пишут только ответ. Во второй части балл ставят за решение: без выкладок верный ответ оценивается нулём.
  • Делают замену переменной и не возвращаются к исходной — решение обрывается на середине, хотя спрашивали про неё.
  • Не проверяют, подходят ли найденные значения по смыслу: посторонние корни замены остаются в ответе.
  • Теряют или лишний раз включают граничные точки — знак «строго» и «нестрого» на границе меняет ответ.
  • Отвечают на пункт а) и забывают про пункт б): отбор на отрезке — самостоятельная половина задания со своим баллом.
  • Пропускают обоснование шага: на высоком уровне проверяется путь, а не только полученное число.
  • Берут формулу по памяти, не проверив, выполняется ли её условие в этой задаче.
  • Не сверяют полученный ответ с вопросом: величина верная, но спрашивали другую.

Это про тебя?

Это не наши слова: так пишут сами выпускники. Три причины бросить подготовку — и что с ними делает эта страница.

  • «ничего не успевает ни смотреть, ни прорешивать, для неё большой объём оказался»Здесь не весь курс: одна линия, пять ступеней и десять примеров. Это один вечер, а не «выучить всё к июню».
  • «лучше с дедлайнами»Срок ставит «Ранг»: после бесплатного теста появляется план на неделю по твоим провалённым номерам. Держаться чужого срока проще, чем заставлять себя самому.
  • «Много воды, много времени отнимают беспонтовые шутки»Воды нет: разбор, пример, ошибка — и следующая задача. Ни вебинаров на три часа, ни «мотивации» между делом.

Проверить себя на задании 18

Откроется тренировочное задание этой линии: условие видно сразу, краткий ответ проверяется без регистрации.

Решить в тренажёре

Не знаешь, с какой линии начинать? Пройди бесплатный тест — 10 минут, без регистрации

Частые вопросы про задание 18 ЕГЭ по математике (профиль)

Сколько баллов даёт задание 18 и за что их снимают?
Наибольший балл линии — 2. Его ставят за полное обоснованное решение; за решение с одной поправимой оплошностью дают меньше, а ответ без решения оценивается нулём. Все ступени шкалы разобраны в блоке «За что ставят баллы» на этой странице.
Как решать задание 18 ЕГЭ по математике (профиль)?
Прочитай вопрос до конца и отметь, что требуется в ответе: развёрнутый ответ. Дальше — выписать данные, выбрать правило темы «Числа и их свойства (олимпиадная)» и проверить ограничения. Полный порядок из пяти ступеней и 10 разобранных примеров — на этой странице.
Что проверяет задание 18 ЕГЭ по математике (профиль)?
Линия 18 кодификатора: «Числа и их свойства (олимпиадная)». Проверяемые темы: теория чисел. В ответе требуется развёрнутый ответ; уровень линии — высокий уровень.
Это официальные задания ФИПИ?
Нет. На странице авторские тренировочные задания в формате ЕГЭ с собственными формулировками и разбором. Формулировка проверяемой линии приведена по кодификатору и спецификации ФИПИ 2026/2027.
Где потренироваться на задании 18?
Кнопка «Решить в тренажёре» на этой странице ведёт в тренажёр «Ранга»: условие открыто, краткий ответ проверяется сразу, регистрация для первой задачи не нужна.

Читать дальше в блоге «Ранга»

Все статьи блога «Ранга» о подготовке к ЕГЭ — расписание, шкалы перевода баллов, планы подготовки и разборы для родителей.

Задания на странице — авторские тренировочные, в формате ЕГЭ. Это не официальные задания ФИПИ и не их копии. Формулировки линий приведены по кодификатору и спецификации ФИПИ 2026/2027; перед индексацией страницы сведения сверяются с публикациями ФИПИ и Рособрнадзора. Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.