Сколько баллов дают за задание 18 ЕГЭ по профильной математике?

До 3 балла из 33 первичных баллов (проект спецификации КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ). Уровень сложности — повышенный.

Сколько времени тратить на задание 18?

Примерное время выполнения по спецификации ФИПИ — 35 минут; на весь экзамен отводится 235 минут.

Где потренироваться на задании 18?

В тренажёре «Ранга» по этому номеру сейчас 30 заданий с проверкой ответа и разбором; первое задание открывается без регистрации.

Задание 18: Планиметрия (развёрнутый ответ)

Теория к заданию № 18 ЕГЭ-2027 по профильной математике: коротко правило, приём решения по шагам, два разобранных примера из банка «Ранга» и ошибки, на которых теряют балл.

Что проверяет задание 18

Что проверяет: Умение доказывать геометрические утверждения и вычислять длины, углы и площади с использованием теорем планиметрии. Пункт а) — доказательство, пункт б) — вычисление; 3 балла.
Баллы: до 3 балла из 33 первичных
Уровень: повышенный
Время: около 35 минут (примерное время по спецификации ФИПИ; на весь экзамен — 235 минут)
Формат: часть 2, полное решение в бланке № 2

Правило и теория

Признаки подобия треугольников (по двум углам, по двум сторонам и углу между ними, по трём сторонам); отношение площадей = k².
Теорема синусов a/sin A = 2R; теорема косинусов c² = a² + b² − 2ab·cos C.
Вписанная окружность: S = p·r (p — полупериметр); в прямоугольном треугольнике r = (a + b − c)/2. Отрезки касательных из одной точки равны.
Описанный четырёхугольник: суммы противоположных сторон равны; вписанный — суммы противоположных углов равны 180°.
Свойства биссектрисы, медианы (точка пересечения делит медианы 2 : 1), высоты; теорема о пересекающихся хордах: AE·EB = CE·ED.

Приём решения по шагам

Сделай точный чертёж с данными; отметь равные отрезки и углы.
Пункт а): найди пару подобных (равных) треугольников или нужное свойство; доказательство пиши цепочкой «так как … , то …».
Пункт б): используй утверждение пункта а) — оно обычно и есть ключ к вычислению.
Считай через подобие, теоремы синусов и косинусов или площади; проверь ответ на правдоподобие.

Два разобранных примера из банка «Ранга»

Сначала реши сам — потом раскрой ответ и разбор. Ответы взяты из банка, по которому работает тренажёр, и проверены.

Пример 1

Катеты прямоугольного треугольника ABC (∠C = 90°) равны BC = 80 и AC = 84. В треугольник вписана окружность с центром I. а) Докажи, что радиус вписанной окружности равен (BC + AC − AB)/2. б) Найди расстояние CI.

Показать ответ и разбор

Ответ: 24√2

а) Пусть окружность касается BC, AC, AB в точках K, L, N. Отрезки касательных из одной точки равны: CK = CL, AL = AN, BK = BN. Четырёхугольник CKIL — квадрат (три прямых угла и IK = IL), поэтому CK = CL = r. Тогда BC + AC − AB = (r + BK) + (r + AL) − (BN + AN) = 2r. б) AB = √(80² + 84²) = 116. r = (80 + 84 − 116)/2 = 24. CI — диагональ квадрата CKIL со стороной r: CI = r√2 = 24√2. Ответ: 24√2.

Карточка банка «Ранга» math_profile-18-34 — авторское тренировочное задание в формате ЕГЭ, ключ проверен. Решить похожее в тренажёре

Пример 2

В равнобедренную трапецию с основаниями 14 и 15 вписана окружность. а) Докажи, что боковая сторона трапеции равна полусумме оснований. б) Найди радиус вписанной окружности.

Показать ответ и разбор

Ответ: √210/2

а) В описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны: AB + CD = AD + BC. Трапеция равнобедренная, AB = CD, поэтому 2AB = AD + BC и боковая сторона равна полусумме оснований. б) Боковая сторона равна 14,5. Проекция боковой стороны на большее основание равна (15 − 14)/2 = 0,5. Высота h = √(14,5² − 0,5²) = √(210) = √210; радиус равен половине высоты: r = √210/2. Ответ: √210/2.

Карточка банка «Ранга» math_profile-18-36 — авторское тренировочное задание в формате ЕГЭ, ключ проверен. Решить похожее в тренажёре

Типичные ошибки

Пункт а) «доказан» ссылкой на чертёж («видно, что…») — так не засчитывают.
Не используют утверждение пункта а) в пункте б) и тонут в вычислениях.
Ошибаются в коэффициенте подобия (берут отношение не соответствующих сторон).
Арифметическая ошибка в конце — снижает балл, поэтому перепроверяй вычисления.

Тренироваться: 30 заданий этого номера

Тренажёр «Ранга»: условие, проверка ответа сразу и разбор по шагам. Первое задание — без регистрации, дальше — в кабинете ученика.

Решать задание 18

Кабинет ученика · Разбор задания 18: 10 примеров

Частые вопросы о задании 18

Сколько баллов дают за задание 18 ЕГЭ по профильной математике?: До 3 балла из 33 первичных баллов (проект спецификации КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ). Уровень сложности — повышенный.
Сколько времени тратить на задание 18?: Примерное время выполнения по спецификации ФИПИ — 35 минут; на весь экзамен отводится 235 минут.
Что проверяет задание 18?: Умение доказывать геометрические утверждения и вычислять длины, углы и площади с использованием теорем планиметрии. Пункт а) — доказательство, пункт б) — вычисление; 3 балла.
Где потренироваться на задании 18?: В тренажёре «Ранга» по этому номеру сейчас 30 заданий с проверкой ответа и разбором; первое задание открывается без регистрации.

Источник: ФИПИ — демоверсии, спецификации, кодификаторы ЕГЭ, архив материалов 2027 года (проект спецификации и демоверсии КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ (опубликован как проект; в 2027 году заданий 20 вместо 19, максимальный первичный балл — 33)).

Тексты теории — авторские материалы «Ранга». Примеры — авторские тренировочные задания в формате ЕГЭ, не официальные задания ФИПИ. Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.