Сколько баллов дают за задание 17 ЕГЭ по профильной математике?

До 2 балла из 33 первичных баллов (проект спецификации КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ). Уровень сложности — повышенный.

Сколько времени тратить на задание 17?

Примерное время выполнения по спецификации ФИПИ — 20 минут; на весь экзамен отводится 235 минут.

Где потренироваться на задании 17?

В тренажёре «Ранга» по этому номеру сейчас 30 заданий с проверкой ответа и разбором; первое задание открывается без регистрации.

Задание 17: Математическое моделирование: исследование функции

Теория к заданию № 17 ЕГЭ-2027 по профильной математике: коротко правило, приём решения по шагам, два разобранных примера из банка «Ранга» и ошибки, на которых теряют балл.

Что проверяет задание 17

Что проверяет: Новое задание второй части КИМ-2027: построить модель реальной ситуации (часто из физики или экономики), исследовать её с помощью алгебры и начал анализа и интерпретировать результат; 2 балла.
Баллы: до 2 балла из 33 первичных
Уровень: повышенный
Время: около 20 минут (примерное время по спецификации ФИПИ; на весь экзамен — 235 минут)
Формат: часть 2, полное решение в бланке № 2

Правило и теория

Модель — функция одной переменной: выручка, площадь, объём, мощность, высота; переменная — то, что можно выбирать.
Наибольшее значение функции на промежутке: f′(x) = 0, знаки f′ слева и справа, сравнение со значениями на концах (если они входят).
Квадратичная функция y = ax² + bx + c (a < 0) достигает максимума в вершине x₀ = −b/(2a) — производная не обязательна.
Мощность на нагрузке P(R) = ℰ²R/(R + r)² максимальна при R = r и равна ℰ²/(4r).
Область допустимых значений переменной задаёт сам смысл: длины и время положительны, количество — целое.
Если переменная целая, проверь соседние целые значения около найденного максимума.

Приём решения по шагам

Обозначь переменную, выпиши ограничения из смысла задачи.
Составь функцию-модель и упрости её.
Исследуй функцию: производная, критические точки, знаки производной (или вершина параболы).
Найди искомую величину и интерпретируй её (что именно спрашивают — аргумент или значение).
Оформи решение полностью: модель, исследование, обоснование максимума, ответ.

Два разобранных примера из банка «Ранга»

Сначала реши сам — потом раскрой ответ и разбор. Ответы взяты из банка, по которому работает тренажёр, и проверены.

Пример 1

На заводе имеется генератор с ЭДС ℰ = 60 В и внутренним сопротивлением r = 2 Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки R (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: I = ℰ/(r + R). Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, рассчитывается по формуле Джоуля — Ленца: P = I²R. Какова максимальная тепловая мощность P, которая может быть выделена нагрузкой? Ответ дайте в ваттах.

Показать ответ и разбор

Ответ: 450

P(R) = ℰ²R/(r + R)² = 3600R/(2 + R)². P'(R) = 3600(2 − R)/(2 + R)³: производная положительна при R < 2 и отрицательна при R > 2, значит, максимум при R = r = 2 Ом. P(2) = 3600 · 2 / 16 = 450 Вт. Ответ: 450.

Карточка банка «Ранга» math_profile-17-11 — авторское тренировочное задание в формате ЕГЭ, ключ проверен. Решить похожее в тренажёре

Пример 2

Фермер огораживает прямоугольный участок, одна сторона которого примыкает к прямому берегу реки и не огораживается. Длина забора на три остальные стороны — 120 м. Какую наибольшую площадь (в квадратных метрах) может иметь участок?

Показать ответ и разбор

Ответ: 1800

Пусть сторона, перпендикулярная реке, равна x м, тогда параллельная равна 120 − 2x м. S(x) = x(120 − 2x), 0 < x < 60. S'(x) = 120 − 4x = 0 при x = 30; при переходе через 30 производная меняет знак с «+» на «−». S(30) = 30 · 60 = 1800 м². Ответ: 1800.

Карточка банка «Ранга» math_profile-17-12 — авторское тренировочное задание в формате ЕГЭ, ключ проверен. Решить похожее в тренажёре

Типичные ошибки

Находят критическую точку, но не обосновывают, что это максимум (нет знаков производной).
Отвечают аргументом вместо значения функции (или наоборот).
Не учитывают ограничения переменной (например, x < 60 из длины забора).
Ошибаются при упрощении модели до исследования — проверяй формулу на одном числе.

Тренироваться: 30 заданий этого номера

Тренажёр «Ранга»: условие, проверка ответа сразу и разбор по шагам. Первое задание — без регистрации, дальше — в кабинете ученика.

Решать задание 17

Кабинет ученика · Разбор задания 17: 10 примеров

Частые вопросы о задании 17

Сколько баллов дают за задание 17 ЕГЭ по профильной математике?: До 2 балла из 33 первичных баллов (проект спецификации КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ). Уровень сложности — повышенный.
Сколько времени тратить на задание 17?: Примерное время выполнения по спецификации ФИПИ — 20 минут; на весь экзамен отводится 235 минут.
Что проверяет задание 17?: Новое задание второй части КИМ-2027: построить модель реальной ситуации (часто из физики или экономики), исследовать её с помощью алгебры и начал анализа и интерпретировать результат; 2 балла.
Где потренироваться на задании 17?: В тренажёре «Ранга» по этому номеру сейчас 30 заданий с проверкой ответа и разбором; первое задание открывается без регистрации.

Источник: ФИПИ — демоверсии, спецификации, кодификаторы ЕГЭ, архив материалов 2027 года (проект спецификации и демоверсии КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ (опубликован как проект; в 2027 году заданий 20 вместо 19, максимальный первичный балл — 33)).

Тексты теории — авторские материалы «Ранга». Примеры — авторские тренировочные задания в формате ЕГЭ, не официальные задания ФИПИ. Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.