Сколько баллов дают за задание 16 ЕГЭ по профильной математике?

До 2 балла из 33 первичных баллов (проект спецификации КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ). Уровень сложности — повышенный.

Сколько времени тратить на задание 16?

Примерное время выполнения по спецификации ФИПИ — 10 минут; на весь экзамен отводится 235 минут.

Где потренироваться на задании 16?

В тренажёре «Ранга» по этому номеру сейчас 30 заданий с проверкой ответа и разбором; первое задание открывается без регистрации.

Задание 16: Неравенства (развёрнутый ответ)

Теория к заданию № 16 ЕГЭ-2027 по профильной математике: коротко правило, приём решения по шагам, два разобранных примера из банка «Ранга» и ошибки, на которых теряют балл.

Что проверяет задание 16

Что проверяет: Умение решать неравенства различными приёмами: показательные, логарифмические, рациональные, с заменой переменной; 2 балла.
Баллы: до 2 балла из 33 первичных
Уровень: повышенный
Время: около 10 минут (примерное время по спецификации ФИПИ; на весь экзамен — 235 минут)
Формат: часть 2, полное решение в бланке № 2

Правило и теория

Метод интервалов: разложи на множители, отметь нули числителя и знаменателя, расставь знаки на промежутках.
Показательные: при a > 1 a^f > a^g ⇔ f > g; при 0 < a < 1 знак меняется на противоположный.
Логарифмические: log_a f > log_a g при a > 1 ⇔ f > g > 0; при 0 < a < 1 ⇔ 0 < f < g. ОДЗ обязательна.
Замена t = a^x (t > 0) или t = log_a x сводит неравенство к квадратному.
Метод рационализации: знак (log_a f − log_a g) совпадает со знаком (a − 1)(f − g) на ОДЗ.
Нестрогое неравенство включает нули числителя, но не нули знаменателя.

Приём решения по шагам

Найди ОДЗ и запиши её.
Сделай замену или приведи к одному основанию; реши неравенство относительно новой переменной методом интервалов.
Вернись к x с учётом монотонности функции (возрастает или убывает основание).
Пересеки с ОДЗ и запиши ответ промежутками; проверь граничные точки.

Два разобранных примера из банка «Ранга»

Сначала реши сам — потом раскрой ответ и разбор. Ответы взяты из банка, по которому работает тренажёр, и проверены.

Пример 1

Реши неравенство 4ˣ − 9·2ˣ + 8 ≤ 0.

Показать ответ и разбор

Ответ: [0; 3]

Шаг 1. Заметь, что 4ˣ = (2ˣ)², и обозначь y = 2ˣ. Неравенство становится квадратным: y² − 9y + 8 ≤ 0. Шаг 2. Разложи левую часть на множители: (y − 1)(y − 8) ≤ 0. Шаг 3. Прочитай знак по параболе: выражение не положительно между корнями, то есть 1 ≤ y ≤ 8. Шаг 4. Вернись к x. Функция 2ˣ возрастает, поэтому неравенство для y переходит в такое же неравенство для показателей: 2ˣ = 1 при x = 0, 2ˣ = 8 при x = 3. Ответ: [0; 3]. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (подстановка точек в левую часть исходного неравенства и дискриминант замены с точным двоичным логарифмом): оба дают [0; 3]. Ответ: [0; 3].

Карточка банка «Ранга» math_profile-16-27 — авторское тренировочное задание в формате ЕГЭ, ключ проверен. Решить похожее в тренажёре

Пример 2

Реши неравенство 4ˣ − 3·2ˣ + 2 ≤ 0.

Показать ответ и разбор

Ответ: [0; 1]

Шаг 1. Заметь, что 4ˣ = (2ˣ)², и обозначь y = 2ˣ. Неравенство становится квадратным: y² − 3y + 2 ≤ 0. Шаг 2. Разложи левую часть на множители: (y − 1)(y − 2) ≤ 0. Шаг 3. Прочитай знак по параболе: выражение не положительно между корнями, то есть 1 ≤ y ≤ 2. Шаг 4. Вернись к x. Функция 2ˣ возрастает, поэтому неравенство для y переходит в такое же неравенство для показателей: 2ˣ = 1 при x = 0, 2ˣ = 2 при x = 1. Ответ: [0; 1]. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (подстановка точек в левую часть исходного неравенства и дискриминант замены с точным двоичным логарифмом): оба дают [0; 1]. Ответ: [0; 1].

Карточка банка «Ранга» math_profile-16-28 — авторское тренировочное задание в формате ЕГЭ, ключ проверен. Решить похожее в тренажёре

Типичные ошибки

Не меняют знак неравенства при основании от 0 до 1.
Теряют ОДЗ логарифма — в ответ попадают точки, где выражение не определено.
Включают в ответ нули знаменателя при нестрогом неравенстве.
Ошибаются в квадратных скобках/круглых на границах — за это по критериям снижают балл.

Тренироваться: 30 заданий этого номера

Тренажёр «Ранга»: условие, проверка ответа сразу и разбор по шагам. Первое задание — без регистрации, дальше — в кабинете ученика.

Решать задание 16

Кабинет ученика · Разбор задания 16: 10 примеров

Частые вопросы о задании 16

Сколько баллов дают за задание 16 ЕГЭ по профильной математике?: До 2 балла из 33 первичных баллов (проект спецификации КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ). Уровень сложности — повышенный.
Сколько времени тратить на задание 16?: Примерное время выполнения по спецификации ФИПИ — 10 минут; на весь экзамен отводится 235 минут.
Что проверяет задание 16?: Умение решать неравенства различными приёмами: показательные, логарифмические, рациональные, с заменой переменной; 2 балла.
Где потренироваться на задании 16?: В тренажёре «Ранга» по этому номеру сейчас 30 заданий с проверкой ответа и разбором; первое задание открывается без регистрации.

Источник: ФИПИ — демоверсии, спецификации, кодификаторы ЕГЭ, архив материалов 2027 года (проект спецификации и демоверсии КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ (опубликован как проект; в 2027 году заданий 20 вместо 19, максимальный первичный балл — 33)).

Тексты теории — авторские материалы «Ранга». Примеры — авторские тренировочные задания в формате ЕГЭ, не официальные задания ФИПИ. Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.