Сколько баллов дают за задание 15 ЕГЭ по профильной математике?

До 3 балла из 33 первичных баллов (проект спецификации КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ). Уровень сложности — повышенный.

Сколько времени тратить на задание 15?

Примерное время выполнения по спецификации ФИПИ — 20 минут; на весь экзамен отводится 235 минут.

Где потренироваться на задании 15?

В тренажёре «Ранга» по этому номеру сейчас 30 заданий с проверкой ответа и разбором; первое задание открывается без регистрации.

Задание 15: Стереометрия (развёрнутый ответ)

Теория к заданию № 15 ЕГЭ-2027 по профильной математике: коротко правило, приём решения по шагам, два разобранных примера из банка «Ранга» и ошибки, на которых теряют балл.

Что проверяет задание 15

Что проверяет: Умение строить сечения, доказывать перпендикулярность и параллельность и вычислять расстояния и углы в пространстве. Пункт а) — доказательство, пункт б) — вычисление; 3 балла.
Баллы: до 3 балла из 33 первичных
Уровень: повышенный
Время: около 20 минут (примерное время по спецификации ФИПИ; на весь экзамен — 235 минут)
Формат: часть 2, полное решение в бланке № 2

Правило и теория

Признак перпендикулярности прямой и плоскости: прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости.
Теорема о трёх перпендикулярах: наклонная перпендикулярна прямой в плоскости ⇔ её проекция перпендикулярна этой прямой.
Угол между прямой и плоскостью — угол между прямой и её проекцией на плоскость; угол между плоскостями — линейный угол двугранного угла (два перпендикуляра к линии пересечения).
Расстояние от точки до плоскости — длина перпендикуляра; удобно искать через объём: h = 3V / S.
Метод координат: плоскость ax + by + cz + d = 0, расстояние от точки = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²).
Правильная пирамида: высота падает в центр основания; апофема перпендикулярна стороне основания.

Приём решения по шагам

Сделай большой аккуратный чертёж; отметь все данные и равенства.
Пункт а): найди две пересекающиеся прямые (или проекцию), к которым применяется признак, и запиши доказательство по шагам со ссылками на теоремы.
Пункт б): построй искомый угол/перпендикуляр (используй пункт а) — он почти всегда подсказка) и найди его из прямоугольных треугольников, через объём или координатами.
Запиши ответ в точном виде (√, arctg) и проверь правдоподобие (угол от 0 до 90°, расстояние меньше рёбер).

Два разобранных примера из банка «Ранга»

Сначала реши сам — потом раскрой ответ и разбор. Ответы взяты из банка, по которому работает тренажёр, и проверены.

Пример 1

Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 14. а) Докажи, что прямая AC₁ перпендикулярна плоскости A₁BD. б) Найди расстояние от точки A до плоскости A₁BD.

Показать ответ и разбор

Ответ: 14√3/3

а) BD ⊥ AC (диагонали квадрата) и BD ⊥ CC₁, значит, BD ⊥ (ACC₁) и BD ⊥ AC₁. Аналогично A₁B ⊥ AB₁ и A₁B ⊥ B₁C₁, значит, A₁B ⊥ (AB₁C₁) и A₁B ⊥ AC₁. Прямая AC₁ перпендикулярна двум пересекающимся прямым BD и A₁B плоскости A₁BD, поэтому AC₁ ⊥ (A₁BD). б) Тетраэдр AA₁BD имеет три взаимно перпендикулярных ребра длины 14 при вершине A, его объём V = 14³/6. Треугольник A₁BD равносторонний со стороной 14√2, его площадь S = (14√2)²·√3/4 = 98√3. Расстояние h = 3V/S = 14³/2 : 98√3 = 14√3/3. Ответ: 14√3/3.

Карточка банка «Ранга» math_profile-15-27 — авторское тренировочное задание в формате ЕГЭ, ключ проверен. Решить похожее в тренажёре

Пример 2

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 10, а боковое ребро равно √86. а) Докажи, что плоскость SAC перпендикулярна прямой BD. б) Найди угол между боковой гранью SAB и плоскостью основания.

Показать ответ и разбор

Ответ: arctg (6/5)

а) Пусть O — центр основания; SO — высота пирамиды, SO ⊥ BD. Кроме того, BD ⊥ AC (диагонали квадрата). Прямая BD перпендикулярна двум пересекающимся прямым SO и AC плоскости SAC, значит, BD ⊥ (SAC). б) Пусть M — середина AB. SM ⊥ AB (медиана равнобедренного треугольника SAB) и OM ⊥ AB, значит, ∠SMO — линейный угол двугранного угла. OA = 10√2/2, SO² = SA² − OA² = 86 − 50 = 36, SO = 6; OM = 5. tg ∠SMO = SO/OM = 6/5. Ответ: arctg (6/5).

Карточка банка «Ранга» math_profile-15-29 — авторское тренировочное задание в формате ЕГЭ, ключ проверен. Решить похожее в тренажёре

Типичные ошибки

Доказательство без ссылок на признаки и теоремы — эксперт не засчитывает пункт а).
Берут угол между прямой и любой прямой плоскости вместо её проекции.
Строят «угол между плоскостями» не из перпендикуляров к линии пересечения.
Ошибаются в координатах вершин при методе координат — проверяй каждую точку по чертежу.

Тренироваться: 30 заданий этого номера

Тренажёр «Ранга»: условие, проверка ответа сразу и разбор по шагам. Первое задание — без регистрации, дальше — в кабинете ученика.

Решать задание 15

Кабинет ученика · Разбор задания 15: 10 примеров

Частые вопросы о задании 15

Сколько баллов дают за задание 15 ЕГЭ по профильной математике?: До 3 балла из 33 первичных баллов (проект спецификации КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ). Уровень сложности — повышенный.
Сколько времени тратить на задание 15?: Примерное время выполнения по спецификации ФИПИ — 20 минут; на весь экзамен отводится 235 минут.
Что проверяет задание 15?: Умение строить сечения, доказывать перпендикулярность и параллельность и вычислять расстояния и углы в пространстве. Пункт а) — доказательство, пункт б) — вычисление; 3 балла.
Где потренироваться на задании 15?: В тренажёре «Ранга» по этому номеру сейчас 30 заданий с проверкой ответа и разбором; первое задание открывается без регистрации.

Источник: ФИПИ — демоверсии, спецификации, кодификаторы ЕГЭ, архив материалов 2027 года (проект спецификации и демоверсии КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ (опубликован как проект; в 2027 году заданий 20 вместо 19, максимальный первичный балл — 33)).

Тексты теории — авторские материалы «Ранга». Примеры — авторские тренировочные задания в формате ЕГЭ, не официальные задания ФИПИ. Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.