Сколько баллов дают за задание 14 ЕГЭ по профильной математике?

До 2 балла из 33 первичных баллов (проект спецификации КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ). Уровень сложности — повышенный.

Сколько времени тратить на задание 14?

Примерное время выполнения по спецификации ФИПИ — 10 минут; на весь экзамен отводится 235 минут.

Где потренироваться на задании 14?

В тренажёре «Ранга» по этому номеру сейчас 30 заданий с проверкой ответа и разбором; первое задание открывается без регистрации.

Задание 14: Уравнения (развёрнутый ответ)

Теория к заданию № 14 ЕГЭ-2027 по профильной математике: коротко правило, приём решения по шагам, два разобранных примера из банка «Ранга» и ошибки, на которых теряют балл.

Что проверяет задание 14

Что проверяет: Умение решать уравнения различными приёмами (тригонометрические, показательные, логарифмические) и отбирать корни на промежутке. Пункт а) — решить уравнение, пункт б) — найти корни на отрезке; 2 балла.
Баллы: до 2 балла из 33 первичных
Уровень: повышенный
Время: около 10 минут (примерное время по спецификации ФИПИ; на весь экзамен — 235 минут)
Формат: часть 2, полное решение в бланке № 2

Правило и теория

Простейшие тригонометрические: sin x = a ⇒ x = (−1)ⁿarcsin a + πn; cos x = a ⇒ x = ±arccos a + 2πn; tg x = a ⇒ x = arctg a + πn (n ∈ ℤ); |a| ≤ 1 для sin и cos.
Замена переменной сводит уравнение к квадратному: 2cos²x − 7cos x + 3 = 0 → y = cos x, y ∈ [−1; 1].
Формулы приведения и двойного угла: sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = 1 − 2sin²x = 2cos²x − 1.
Показательные с заменой: 4^x = (2^x)², новая переменная t = 2^x > 0.
Отбор корней: перебором n (подставляй n = 0, ±1, ±2…), двойным неравенством или по единичной окружности — в решении должен быть виден способ.
Посторонние корни (|cos x| > 1, t ≤ 0, знаменатель = 0) отбрасывают с обоснованием.

Приём решения по шагам

Найди ОДЗ (знаменатели, логарифмы, корни).
Сведи уравнение к одной функции одного аргумента; сделай замену и реши получившееся уравнение.
Вернись к x, запиши серии решений с указанием n ∈ ℤ — это ответ пункта а).
Отбери корни на отрезке пункта б) одним из способов и запиши их явно (например, 7π/3).
Проверь по критериям ФИПИ: оба пункта обоснованы, ответ записан.

Два разобранных примера из банка «Ранга»

Сначала реши сам — потом раскрой ответ и разбор. Ответы взяты из банка, по которому работает тренажёр, и проверены.

Пример 1

а) Реши уравнение 2cos²x − 7cos x + 3 = 0. б) Найди все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π]. Запиши корни пункта б в порядке возрастания через точку с запятой.

Показать ответ и разбор

Ответ: 5π/3; 7π/3; 11π/3; 13π/3

Шаг 1. Обозначь y = cos x. Уравнение становится квадратным: 2y² − 7y + 3 = 0. Шаг 2. Найди корни замены: y = 1/2 и y = 3. Шаг 3. Отбросьте посторонний корень: косинус не бывает по модулю больше единицы, поэтому y = 3 не подходит. Остаётся cos x = 1/2. Шаг 4. Выпиши семейство корней: x = ±π/3 + 2πk, где k — целое. Отбери те, что попали на отрезок [π; 5π]: 5π/3; 7π/3; 11π/3; 13π/3. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (подстановка каждой точки отрезка в исходное уравнение точным счётом и численный поиск корней по смене знака): оба дают 5π/3; 7π/3; 11π/3; 13π/3. Пункт а: x = ±π/3 + 2πk, k ∈ ℤ. Пункт б: 5π/3; 7π/3; 11π/3; 13π/3. Ответ: 5π/3; 7π/3; 11π/3; 13π/3.

Карточка банка «Ранга» math_profile-14-24 — авторское тренировочное задание в формате ЕГЭ, ключ проверен. Решить похожее в тренажёре

Пример 2

а) Реши уравнение 2cos²x + 7cos x − 4 = 0. б) Найди все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−4π; 0]. Запиши корни пункта б в порядке возрастания через точку с запятой.

Показать ответ и разбор

Ответ: −11π/3; −7π/3; −5π/3; −π/3

Шаг 1. Обозначь y = cos x. Уравнение становится квадратным: 2y² + 7y − 4 = 0. Шаг 2. Найди корни замены: y = 1/2 и y = −4. Шаг 3. Отбросьте посторонний корень: косинус не бывает по модулю больше единицы, поэтому y = −4 не подходит. Остаётся cos x = 1/2. Шаг 4. Выпиши семейство корней: x = ±π/3 + 2πk, где k — целое. Отбери те, что попали на отрезок [−4π; 0]: −11π/3; −7π/3; −5π/3; −π/3. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (подстановка каждой точки отрезка в исходное уравнение точным счётом и численный поиск корней по смене знака): оба дают −11π/3; −7π/3; −5π/3; −π/3. Пункт а: x = ±π/3 + 2πk, k ∈ ℤ. Пункт б: −11π/3; −7π/3; −5π/3; −π/3. Ответ: −11π/3; −7π/3; −5π/3; −π/3.

Карточка банка «Ранга» math_profile-14-25 — авторское тренировочное задание в формате ЕГЭ, ключ проверен. Решить похожее в тренажёре

Типичные ошибки

Теряют серию решений (для cos x = a забывают «±»).
Не пишут, что n ∈ ℤ, или не обосновывают отбор — за пункт б) снижают балл.
Оставляют корень замены вне [−1; 1] или отрицательный корень для t = 2^x.
Делят обе части на выражение с x (например, на cos x) и теряют корни.

Тренироваться: 30 заданий этого номера

Тренажёр «Ранга»: условие, проверка ответа сразу и разбор по шагам. Первое задание — без регистрации, дальше — в кабинете ученика.

Решать задание 14

Кабинет ученика · Разбор задания 14: 10 примеров

Частые вопросы о задании 14

Сколько баллов дают за задание 14 ЕГЭ по профильной математике?: До 2 балла из 33 первичных баллов (проект спецификации КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ). Уровень сложности — повышенный.
Сколько времени тратить на задание 14?: Примерное время выполнения по спецификации ФИПИ — 10 минут; на весь экзамен отводится 235 минут.
Что проверяет задание 14?: Умение решать уравнения различными приёмами (тригонометрические, показательные, логарифмические) и отбирать корни на промежутке. Пункт а) — решить уравнение, пункт б) — найти корни на отрезке; 2 балла.
Где потренироваться на задании 14?: В тренажёре «Ранга» по этому номеру сейчас 30 заданий с проверкой ответа и разбором; первое задание открывается без регистрации.

Источник: ФИПИ — демоверсии, спецификации, кодификаторы ЕГЭ, архив материалов 2027 года (проект спецификации и демоверсии КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ (опубликован как проект; в 2027 году заданий 20 вместо 19, максимальный первичный балл — 33)).

Тексты теории — авторские материалы «Ранга». Примеры — авторские тренировочные задания в формате ЕГЭ, не официальные задания ФИПИ. Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.