Задание 20: Числа и их свойства

Теория к заданию № 20 ЕГЭ-2027 по профильной математике: коротко правило, приём решения по шагам, два разобранных примера из банка «Ранга» и ошибки, на которых теряют балл.

Что проверяет задание 20

Что проверяет
Умение проводить доказательные рассуждения о целых числах: делимость, остатки, НОД и НОК, оценки и примеры; три пункта а), б), в) — 4 балла.
Баллы
до 4 балла из 33 первичных
Уровень
высокий
Время
около 40 минут (примерное время по спецификации ФИПИ; на весь экзамен — 235 минут)
Формат
часть 2, полное решение в бланке № 2

Правило и теория

  • Делимость: a делится на b, если a = b·k, k ∈ ℤ. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11; число делится на 6 ⇔ на 2 и на 3.
  • Деление с остатком: a = b·q + r, 0 ≤ r < b. Сумма (произведение) остатков сравнима с остатком суммы (произведения).
  • НОД и НОК: НОД(a, b)·НОК(a, b) = a·b; если d = НОД(a, b), то a = dx, b = dy, где x и y взаимно просты.
  • Сумма цифр числа даёт тот же остаток при делении на 9, что и само число; при переходе n → n + 1 с k девятками на конце сумма цифр меняется на 1 − 9k.
  • Оценка + пример: чтобы доказать, что наибольшее (наименьшее) значение равно M, нужны и оценка «не больше M», и пример, где M достигается.
  • Ответ «нет» требует доказательства невозможности (чётность, остатки, оценка), ответ «да» — конкретного примера.

Приём решения по шагам

  1. Пункт а): обычно достаточно подобрать пример (или найти простое противоречие) — начни с перебора небольших случаев.
  2. Пункт б): ищи инвариант — чётность, остаток, сумма, — который запрещает ситуацию, или строй пример.
  3. Пункт в): найди оценку (неравенство, делимость) и предъяви пример, на котором она достигается.
  4. Пиши решение так, чтобы каждое утверждение было обосновано: «так как … , то …».

Два разобранных примера из банка «Ранга»

Сначала реши сам — потом раскрой ответ и разбор. Ответы взяты из банка, по которому работает тренажёр, и проверены.

Пример 1

Натуральные числа a и b, где a < b, таковы, что НОК(a, b) − НОД(a, b) = 35. а) Может ли сумма a + b быть равна 50? б) Может ли одно из чисел a и b быть равным 14? в) Найди наибольшее возможное значение суммы a + b.

Показать ответ и разбор

Ответ: а) нет; б) да; в) 105

Пусть d = НОД(a, b), a = dx, b = dy, где x < y — взаимно простые натуральные числа. Тогда НОК(a, b) = dxy и условие принимает вид d(xy − 1) = 35. Значит, d — делитель 35: d ∈ {1, 5, 7, 35}. — d = 1: xy = 36, взаимно простые x < y: (1; 36), (4; 9) → пары (1; 36), (4; 9). — d = 5: xy = 8: (1; 8) → (5; 40) (пара (2; 4) не взаимно простая). — d = 7: xy = 6: (1; 6), (2; 3) → (7; 42), (14; 21). — d = 35: xy = 2: (1; 2) → (35; 70). Других пар нет. Суммы найденных пар: 37, 13, 45, 49, 35, 105. а) Суммы 50 среди них нет. Не может. б) Пара (14; 21): НОД 7, НОК 42, 42 − 7 = 35. Может. в) Наибольшая сумма — 105 (a = 35, b = 70: НОК 70, НОД 35, 70 − 35 = 35). Ответ: а) нет; б) да; в) 105.

Карточка банка «Ранга» math_profile-20-36 — авторское тренировочное задание в формате ЕГЭ, ключ проверен. Решить похожее в тренажёре

Пример 2

Сумма цифр натурального числа n равна 30. а) Может ли сумма цифр числа n + 1 быть равна 22? б) Может ли сумма цифр числа n + 1 быть равна 15? в) Сумма цифр числа n + 1 равна 13. Найди наименьшее возможное значение n.

Показать ответ и разбор

Ответ: а) да; б) нет; в) 4899

Пусть n оканчивается ровно на k девяток (k ≥ 0). При переходе к n + 1 эти k девяток превращаются в нули, а цифра перед ними (не равная 9; если её нет, то появляется новая цифра 1) увеличивается на 1. Поэтому S(n + 1) = S(n) + 1 − 9k = 31 − 9k. а) 31 − 9k = 22 при k = 1. Пример: n = 6969, сумма цифр 6 + 9 + 6 + 9 = 30; n + 1 = 6970, сумма 6 + 9 + 7 + 0 = 22. Может. б) 31 − 9k = 15 ⇔ 9k = 16 — k не целое. Не может. в) 31 − 9k = 13 ⇔ k = 2: n оканчивается ровно на две девятки, а цифры перед ними (они есть, иначе n = 99 и S(n) = 18) имеют сумму 30 − 18 = 12, причём последняя из них не 9. Одной цифрой сумму 12 не набрать, поэтому n не менее чем четырёхзначно. Четырёхзначное n = (xy99), x + y = 12, y ≠ 9. При x ≤ 2 получаем y ≥ 10 — невозможно; при x = 3 y = 9 — запрещено; при x = 4 y = 8. Наименьшее n = 4899. Проверка: 4 + 8 + 9 + 9 = 30, n + 1 = 4900, 4 + 9 + 0 + 0 = 13. Ответ: а) да; б) нет; в) 4899.

Карточка банка «Ранга» math_profile-20-37 — авторское тренировочное задание в формате ЕГЭ, ключ проверен. Решить похожее в тренажёре

Типичные ошибки

  • Отвечают «нет» без доказательства — пункт не засчитывается.
  • В пункте в) дают только пример без оценки (или только оценку без примера).
  • Проверяют «на нескольких числах» и делают общий вывод — это не доказательство.
  • Не используют результаты пунктов а) и б) — они часто подсказывают идею пункта в).

Тренироваться: 30 заданий этого номера

Тренажёр «Ранга»: условие, проверка ответа сразу и разбор по шагам. Первое задание — без регистрации, дальше — в кабинете ученика.

Решать задание 20

Кабинет ученика · Разбор задания 20: 10 примеров

Частые вопросы о задании 20

Сколько баллов дают за задание 20 ЕГЭ по профильной математике?
До 4 балла из 33 первичных баллов (проект спецификации КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ). Уровень сложности — высокий.
Сколько времени тратить на задание 20?
Примерное время выполнения по спецификации ФИПИ — 40 минут; на весь экзамен отводится 235 минут.
Что проверяет задание 20?
Умение проводить доказательные рассуждения о целых числах: делимость, остатки, НОД и НОК, оценки и примеры; три пункта а), б), в) — 4 балла.
Где потренироваться на задании 20?
В тренажёре «Ранга» по этому номеру сейчас 30 заданий с проверкой ответа и разбором; первое задание открывается без регистрации.

Источник: ФИПИ — демоверсии, спецификации, кодификаторы ЕГЭ, архив материалов 2027 года (проект спецификации и демоверсии КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ (опубликован как проект; в 2027 году заданий 20 вместо 19, максимальный первичный балл — 33)).

Тексты теории — авторские материалы «Ранга». Примеры — авторские тренировочные задания в формате ЕГЭ, не официальные задания ФИПИ. Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.