Задание 12: Функции: формулы зависимостей и графики

Теория к заданию № 12 ЕГЭ-2027 по профильной математике: коротко правило, приём решения по шагам, два разобранных примера из банка «Ранга» и ошибки, на которых теряют балл.

Что проверяет задание 12

Что проверяет
Умение выражать формулами зависимости между величинами, восстанавливать формулу функции по графику и использовать свойства и графики функций для решения уравнений.
Баллы
до 1 балл из 33 первичных
Уровень
повышенный
Время
около 8 минут (примерное время по спецификации ФИПИ; на весь экзамен — 235 минут)
Формат
часть 1, краткий ответ — число

Правило и теория

  • Линейная y = kx + b: k = (y2 − y1)/(x2 − x1) — наклон, b — ордината точки пересечения с осью Oy.
  • Квадратичная y = ax2 + bx + c: вершина в x0 = −b/(2a); a > 0 — ветви вверх; c = y(0).
  • Гипербола y = k/x + a: асимптоты x = 0 и y = a; знак k определяет четверти.
  • Показательная y = ax + b и логарифмическая y = loga(x) + b: по двум точкам графика получают систему для неизвестных коэффициентов.
  • Корень y = k√x и тригонометрические y = a·sin(bx) + c: амплитуда a, период 2π/b, сдвиг c.
  • Точку пересечения графиков находят, приравняв формулы: f(x) = g(x).

Приём решения по шагам

  1. По виду графика определи тип функции и запиши формулу с неизвестными коэффициентами.
  2. Найди на графике точки с целыми координатами (узлы сетки) и подставь их в формулу.
  3. Реши систему, найди коэффициенты.
  4. Вычисли то, что спрашивают: значение функции, абсциссу точки пересечения и т. п.; сверь с графиком «на глаз».

Два разобранных примера из банка «Ранга»

Сначала реши сам — потом раскрой ответ и разбор. Ответы взяты из банка, по которому работает тренажёр, и проверены.

Пример 1

График линейной функции y = kx + b проходит через точки A (−5; 18) и B (−7; 28). Найди коэффициент k. Ответ — целое число.

Показать ответ и разбор

Ответ: -5

Шаг 1. Коэффициент k — это наклон прямой: на сколько меняется y, когда x увеличивается на единицу. Шаг 2. Возьми приращения между точками: Δy = 28 − 18 = 10, Δx = −7 − (−5) = −2. Шаг 3. Раздели одно на другое: k = Δy / Δx = 10 / −2 = -5. Шаг 4. Проверь знак: при k > 0 прямая возрастает, при k < 0 убывает. Сверь это с порядком ординат в условии. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (система двух уравнений по правилу Крамера и перебор целых k): оба дают -5. Ответ: -5.

Карточка банка «Ранга» math_profile-12-34 — авторское тренировочное задание в формате ЕГЭ, ключ проверен. Решить похожее в тренажёре

Пример 2

График функции f(x) = k/x + a, где k и a — некоторые числа, проходит через точки A(2; 8) и B(4; 5). Найди значение f(12).

Показать ответ и разбор

Ответ: 3

Шаг 1. Подставь координаты точек в формулу: 8 = k/2 + a и 5 = k/4 + a. Шаг 2. Вычти второе равенство из первого, слагаемое a уйдёт: 3 = k·(1/2 − 1/4), откуда k = 12. Шаг 3. Подставь k в первое равенство: a = 8 − 12/2 = 2. Формула зависимости: f(x) = 12/x + 2. Шаг 4. Посчитай значение: f(12) = 12/12 + 2 = 1 + 2 = 3. Ответ: 3. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (замена t = 1/x делает зависимость линейной, и значение находится интерполяцией по двум точкам; перебор целых k со сверкой обеих точек): оба дают 3. Ответ: 3.

Карточка банка «Ранга» math_profile-12-35 — авторское тренировочное задание в формате ЕГЭ, ключ проверен. Решить похожее в тренажёре

Типичные ошибки

  • Берут с графика точки «на глаз», а не в узлах сетки, — коэффициенты получаются дробными и неверными.
  • Путают знак k: прямая, идущая вниз слева направо, имеет k < 0.
  • Находят только одну точку пересечения, а спрашивали вторую.
  • Путают сдвиг по оси x и по оси y.

Тренироваться: 54 задания этого номера

Тренажёр «Ранга»: условие, проверка ответа сразу и разбор по шагам. Первое задание — без регистрации, дальше — в кабинете ученика.

Решать задание 12

Кабинет ученика · Разбор задания 12: 10 примеров

Частые вопросы о задании 12

Сколько баллов дают за задание 12 ЕГЭ по профильной математике?
До 1 балл из 33 первичных баллов (проект спецификации КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ). Уровень сложности — повышенный.
Сколько времени тратить на задание 12?
Примерное время выполнения по спецификации ФИПИ — 8 минут; на весь экзамен отводится 235 минут.
Что проверяет задание 12?
Умение выражать формулами зависимости между величинами, восстанавливать формулу функции по графику и использовать свойства и графики функций для решения уравнений.
Где потренироваться на задании 12?
В тренажёре «Ранга» по этому номеру сейчас 54 задания с проверкой ответа и разбором; первое задание открывается без регистрации.

Источник: ФИПИ — демоверсии, спецификации, кодификаторы ЕГЭ, архив материалов 2027 года (проект спецификации и демоверсии КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ (опубликован как проект; в 2027 году заданий 20 вместо 19, максимальный первичный балл — 33)).

Тексты теории — авторские материалы «Ранга». Примеры — авторские тренировочные задания в формате ЕГЭ, не официальные задания ФИПИ. Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.