Задание 9: Производная и первообразная

Теория к заданию № 9 ЕГЭ-2027 по профильной математике: коротко правило, приём решения по шагам, два разобранных примера из банка «Ранга» и ошибки, на которых теряют балл.

Что проверяет задание 9

Что проверяет
Умение находить производные, использовать производную для исследования функций (возрастание, экстремумы, наибольшее и наименьшее значения), геометрический и физический смысл производной, первообразную и площадь под графиком.
Баллы
до 1 балл из 33 первичных
Уровень
базовый
Время
около 5 минут (примерное время по спецификации ФИПИ; на весь экзамен — 235 минут)
Формат
часть 1, краткий ответ — число

Правило и теория

  • Таблица: (xn)′ = n·xn−1; (ex)′ = ex; (ln x)′ = 1/x; (sin x)′ = cos x; (cos x)′ = −sin x; (C)′ = 0.
  • Правила: (u ± v)′ = u′ ± v′; (uv)′ = u′v + uv′; (u/v)′ = (u′v − uv′)/v2; (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x).
  • Геометрический смысл: f′(x0) = tg α = k — угловой коэффициент касательной в точке x0; касательная: y = f(x0) + f′(x0)(x − x0). Параллельные прямые имеют равные k.
  • Физический смысл: скорость v(t) = x′(t), ускорение a(t) = v′(t).
  • f′ > 0 — функция возрастает, f′ < 0 — убывает; точка максимума — f′ меняет знак с «+» на «−», минимума — с «−» на «+».
  • Наибольшее/наименьшее значение на отрезке ищут среди значений в критических точках внутри отрезка и на концах. Первообразная: F′ = f; площадь под графиком f ≥ 0 на [a; b] равна F(b) − F(a).

Приём решения по шагам

  1. Пойми, что дано — функция, график функции или график производной, — и что спрашивают: значение f′, точку экстремума, значение функции.
  2. Найди производную по таблице и правилам (или прочитай по графику: тангенс наклона касательной).
  3. Приравняй f′ к нулю (или к нужному k), найди точки и определи знаки f′ на промежутках.
  4. Для отрезка сравни значения функции в найденных точках и на концах; запиши то, что спросили: точку (x) или значение (y).

Два разобранных примера из банка «Ранга»

Сначала реши сам — потом раскрой ответ и разбор. Ответы взяты из банка, по которому работает тренажёр, и проверены.

Пример 1

К графику функции f(x)=x^3-6x^2+9x+4 проведена касательная, параллельная прямой y=9x-2. Найди наибольшую абсциссу точки касания.

Показать ответ и разбор

Ответ: 4

Из условия получаем 3x^2-12x+9=9, откуда 3x^2-12x=0, или 3x(x-4)=0. Возможные абсциссы: x=0 и x=4. Наибольшая абсцисса равна 4. Ответ: 4.

Карточка банка «Ранга» math_profile-9-2 — авторское тренировочное задание в формате ЕГЭ, ключ проверен. Решить похожее в тренажёре

Пример 2

Найди наибольшее значение функции f(x) = −x² + 8x − 12 на отрезке [1; 6].

Показать ответ и разбор

Ответ: 4

Вершина параболы имеет абсциссу x₀ = 4, и 4 ∈ [1; 6]. Вычислим значения функции: f(4) = −16 + 32 − 12 = 4; f(1) = −1 + 8 − 12 = −5; f(6) = −36 + 48 − 12 = 0. Наибольшее значение равно 4. Ответ: 4.

Карточка банка «Ранга» math_profile-9-9 — авторское тренировочное задание в формате ЕГЭ, ключ проверен. Решить похожее в тренажёре

Типичные ошибки

  • Путают точку экстремума (x) и значение функции в ней (y).
  • По графику производной ищут максимум производной вместо точки, где производная меняет знак.
  • На отрезке забывают сравнить значения на концах.
  • Ошибаются в знаке тангенса: если касательная «опускается» слева направо, k < 0.

Тренироваться: 62 задания этого номера

Тренажёр «Ранга»: условие, проверка ответа сразу и разбор по шагам. Первое задание — без регистрации, дальше — в кабинете ученика.

Решать задание 9

Кабинет ученика · Разбор задания 9: 10 примеров

Частые вопросы о задании 9

Сколько баллов дают за задание 9 ЕГЭ по профильной математике?
До 1 балл из 33 первичных баллов (проект спецификации КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ). Уровень сложности — базовый.
Сколько времени тратить на задание 9?
Примерное время выполнения по спецификации ФИПИ — 5 минут; на весь экзамен отводится 235 минут.
Что проверяет задание 9?
Умение находить производные, использовать производную для исследования функций (возрастание, экстремумы, наибольшее и наименьшее значения), геометрический и физический смысл производной, первообразную и площадь под графиком.
Где потренироваться на задании 9?
В тренажёре «Ранга» по этому номеру сейчас 62 задания с проверкой ответа и разбором; первое задание открывается без регистрации.

Источник: ФИПИ — демоверсии, спецификации, кодификаторы ЕГЭ, архив материалов 2027 года (проект спецификации и демоверсии КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ (опубликован как проект; в 2027 году заданий 20 вместо 19, максимальный первичный балл — 33)).

Тексты теории — авторские материалы «Ранга». Примеры — авторские тренировочные задания в формате ЕГЭ, не официальные задания ФИПИ. Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.