Задание 7: Простейшие уравнения

Теория к заданию № 7 ЕГЭ-2027 по профильной математике: коротко правило, приём решения по шагам, два разобранных примера из банка «Ранга» и ошибки, на которых теряют балл.

Что проверяет задание 7

Что проверяет
Умение решать простейшие уравнения: линейные, квадратные, дробно-рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические.
Баллы
до 1 балл из 33 первичных
Уровень
базовый
Время
около 2 минуты (примерное время по спецификации ФИПИ; на весь экзамен — 235 минут)
Формат
часть 1, краткий ответ — число

Правило и теория

  • Линейное ax + b = 0 (a ≠ 0): x = −b/a. Квадратное ax2 + bx + c = 0: x = (−b ± √D)/(2a), D = b2 − 4ac.
  • Показательное af(x) = ag(x) (a > 0, a ≠ 1) ⇔ f(x) = g(x): приводи обе части к одному основанию.
  • Логарифмическое loga f(x) = b ⇔ f(x) = ab (при a > 0, a ≠ 1); проверяй, что f(x) > 0.
  • Иррациональное √f(x) = g(x) ⇔ f(x) = g(x)2 и g(x) ≥ 0 — после возведения в квадрат обязательна проверка.
  • Дробное f(x)/g(x) = 0 ⇔ f(x) = 0 и g(x) ≠ 0.
  • Если корней несколько, а в ответ нужен один — условие скажет, какой (больший, меньший, отрицательный).

Приём решения по шагам

  1. Определи тип уравнения и выпиши ограничения (знаменатель, подкоренное выражение, аргумент логарифма).
  2. Сведи к простому виду: одно основание, одна функция, линейное или квадратное уравнение.
  3. Реши и отбери корни по ограничениям и по требованию условия.
  4. Подставь найденный корень в исходное уравнение — это занимает 20 секунд и ловит большинство ошибок.

Два разобранных примера из банка «Ранга»

Сначала реши сам — потом раскрой ответ и разбор. Ответы взяты из банка, по которому работает тренажёр, и проверены.

Пример 1

Найди корень уравнения 2^(x − 3) = 64. Ответ — целое число.

Показать ответ и разбор

Ответ: 9

Шаг 1. Приведи обе части к одному основанию: 64 = 2^6. Шаг 2. Уравнение стало 2^(x − 3) = 2^6. Шаг 3. Показательная функция строго монотонна, поэтому равны степени только при равных показателях: приравняй показатели. Шаг 4. Реши линейное уравнение x − 3 = 6: x = 9. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (логарифм по основанию 2 и перебор целых корней): оба дают 9. Ответ: 9.

Карточка банка «Ранга» math_profile-7-16 — авторское тренировочное задание в формате ЕГЭ, ключ проверен. Решить похожее в тренажёре

Пример 2

Найди корень уравнения 5^(x − 2) = 25. Ответ — целое число.

Показать ответ и разбор

Ответ: 4

Шаг 1. Приведи обе части к одному основанию: 25 = 5^2. Шаг 2. Уравнение стало 5^(x − 2) = 5^2. Шаг 3. Показательная функция строго монотонна, поэтому равны степени только при равных показателях: приравняй показатели. Шаг 4. Реши линейное уравнение x − 2 = 2: x = 4. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (логарифм по основанию 5 и перебор целых корней): оба дают 4. Ответ: 4.

Карточка банка «Ранга» math_profile-7-17 — авторское тренировочное задание в формате ЕГЭ, ключ проверен. Решить похожее в тренажёре

Типичные ошибки

  • Не проверяют корни иррационального уравнения и оставляют посторонний.
  • Забывают, что аргумент логарифма должен быть положительным.
  • В уравнении с несколькими корнями записывают не тот корень, о котором спрашивали.
  • Ошибаются в знаке при переносе слагаемого через знак равенства.

Тренироваться: 30 заданий этого номера

Тренажёр «Ранга»: условие, проверка ответа сразу и разбор по шагам. Первое задание — без регистрации, дальше — в кабинете ученика.

Решать задание 7

Кабинет ученика · Разбор задания 7: 10 примеров

Частые вопросы о задании 7

Сколько баллов дают за задание 7 ЕГЭ по профильной математике?
До 1 балл из 33 первичных баллов (проект спецификации КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ). Уровень сложности — базовый.
Сколько времени тратить на задание 7?
Примерное время выполнения по спецификации ФИПИ — 2 минуты; на весь экзамен отводится 235 минут.
Что проверяет задание 7?
Умение решать простейшие уравнения: линейные, квадратные, дробно-рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические.
Где потренироваться на задании 7?
В тренажёре «Ранга» по этому номеру сейчас 30 заданий с проверкой ответа и разбором; первое задание открывается без регистрации.

Источник: ФИПИ — демоверсии, спецификации, кодификаторы ЕГЭ, архив материалов 2027 года (проект спецификации и демоверсии КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ (опубликован как проект; в 2027 году заданий 20 вместо 19, максимальный первичный балл — 33)).

Тексты теории — авторские материалы «Ранга». Примеры — авторские тренировочные задания в формате ЕГЭ, не официальные задания ФИПИ. Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.