Сколько баллов дают за задание 6 ЕГЭ по профильной математике?

До 1 балл из 33 первичных баллов (проект спецификации КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ). Уровень сложности — повышенный.

Сколько времени тратить на задание 6?

Примерное время выполнения по спецификации ФИПИ — 8 минут; на весь экзамен отводится 235 минут.

Где потренироваться на задании 6?

В тренажёре «Ранга» по этому номеру сейчас 30 заданий с проверкой ответа и разбором; первое задание открывается без регистрации.

Задание 6: Случайная величина: распределение, ожидание, дисперсия

Теория к заданию № 6 ЕГЭ-2027 по профильной математике: коротко правило, приём решения по шагам, два разобранных примера из банка «Ранга» и ошибки, на которых теряют балл.

Что проверяет задание 6

Что проверяет: Новое задание КИМ-2027: случайная величина, её распределение, математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение; свойства изученных распределений (в том числе биномиального).
Баллы: до 1 балл из 33 первичных
Уровень: повышенный
Время: около 8 минут (примерное время по спецификации ФИПИ; на весь экзамен — 235 минут)
Формат: часть 1, краткий ответ — число

Правило и теория

Закон распределения дискретной величины — таблица «значение x_i — вероятность p_i»; сумма всех p_i равна 1.
Математическое ожидание: E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + x_np_n.
Дисперсия: D(X) = E(X²) − (E(X))² = Σ(x_i − E(X))²·p_i; стандартное отклонение σ = √D(X).
Свойства: E(aX + b) = a·E(X) + b; D(aX + b) = a²·D(X); E(X + Y) = E(X) + E(Y) всегда; D(X + Y) = D(X) + D(Y) — для независимых величин.
Биномиальное распределение (n испытаний, успех с вероятностью p): P(X = k) = C_n^k·p^k·(1 − p)^{n − k}, E(X) = np, D(X) = np(1 − p).
Равномерное распределение на отрезке [a; b]: E(X) = (a + b)/2.

Приём решения по шагам

Составь (или дополни) таблицу распределения: неизвестную вероятность найди из условия «сумма = 1».
Посчитай E(X) как сумму произведений «значение × вероятность».
Для дисперсии посчитай E(X²) и вычти квадрат ожидания; для σ извлеки корень.
Если величина выражена через другую (Y = aX + b) — используй свойства, а не новую таблицу.

Два разобранных примера из банка «Ранга»

Сначала реши сам — потом раскрой ответ и разбор. Ответы взяты из банка, по которому работает тренажёр, и проверены.

Пример 1

Организаторы лотереи выпустили 5000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом. Выигрыш (в рублях): 50 | 500 | 2000 | 20 000 Число выигрышных билетов: 400 | 60 | 15 | 2 Остальные билеты не выигрывают. Найди математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дай в рублях.

Показать ответ и разбор

Ответ: 24

Выигрыш X на один билет принимает значения 0, 50, 500, 2000, 20 000 с вероятностями (5000 − 477)/5000, 400/5000, 60/5000, 15/5000, 2/5000. E(X) = (50·400 + 500·60 + 2000·15 + 20 000·2)/5000 = (20 000 + 30 000 + 30 000 + 40 000)/5000 = 120 000/5000 = 24. Ответ: 24.

Карточка банка «Ранга» math_profile-6-0 — авторское тренировочное задание в формате ЕГЭ, ключ проверен. Решить похожее в тренажёре

Пример 2

Случайная величина X задана распределением (одна вероятность неизвестна). Значение X: −2 | 1 | 3 | 5 Вероятность: 0,2 | p | 0,3 | 0,1 Найди математическое ожидание случайной величины X.

Показать ответ и разбор

Ответ: 1,4

Сумма вероятностей равна 1: p = 1 − 0,2 − 0,3 − 0,1 = 0,4. E(X) = (−2)·0,2 + 1·0,4 + 3·0,3 + 5·0,1 = −0,4 + 0,4 + 0,9 + 0,5 = 1,4. Ответ: 1,4.

Карточка банка «Ранга» math_profile-6-1 — авторское тренировочное задание в формате ЕГЭ, ключ проверен. Решить похожее в тренажёре

Типичные ошибки

Считают D(X) как E(X²) без вычитания (E(X))².
Применяют D(aX + b) = a·D(X) вместо a²·D(X); забывают, что сдвиг b дисперсию не меняет.
Забывают значение «0» (например, невыигрышные билеты) при подсчёте вероятностей — сумма вероятностей перестаёт быть равной 1.
Путают дисперсию и стандартное отклонение.

Тренироваться: 30 заданий этого номера

Тренажёр «Ранга»: условие, проверка ответа сразу и разбор по шагам. Первое задание — без регистрации, дальше — в кабинете ученика.

Решать задание 6

Кабинет ученика · Разбор задания 6: 10 примеров

Частые вопросы о задании 6

Сколько баллов дают за задание 6 ЕГЭ по профильной математике?: До 1 балл из 33 первичных баллов (проект спецификации КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ). Уровень сложности — повышенный.
Сколько времени тратить на задание 6?: Примерное время выполнения по спецификации ФИПИ — 8 минут; на весь экзамен отводится 235 минут.
Что проверяет задание 6?: Новое задание КИМ-2027: случайная величина, её распределение, математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение; свойства изученных распределений (в том числе биномиального).
Где потренироваться на задании 6?: В тренажёре «Ранга» по этому номеру сейчас 30 заданий с проверкой ответа и разбором; первое задание открывается без регистрации.

Источник: ФИПИ — демоверсии, спецификации, кодификаторы ЕГЭ, архив материалов 2027 года (проект спецификации и демоверсии КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ (опубликован как проект; в 2027 году заданий 20 вместо 19, максимальный первичный балл — 33)).

Тексты теории — авторские материалы «Ранга». Примеры — авторские тренировочные задания в формате ЕГЭ, не официальные задания ФИПИ. Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.