Задание 5: Вероятность: сложение, умножение, полная вероятность

Теория к заданию № 5 ЕГЭ-2027 по профильной математике: коротко правило, приём решения по шагам, два разобранных примера из банка «Ранга» и ошибки, на которых теряют балл.

Что проверяет задание 5

Что проверяет
Умение применять формулы сложения и умножения вероятностей, формулу полной вероятности и комбинаторные формулы.
Баллы
до 1 балл из 33 первичных
Уровень
повышенный
Время
около 7 минут (примерное время по спецификации ФИПИ; на весь экзамен — 235 минут)
Формат
часть 1, краткий ответ — число

Правило и теория

  • Несовместные события (не могут произойти вместе): P(A или B) = P(A) + P(B).
  • Общий случай: P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B).
  • Независимые события: P(A и B) = P(A)·P(B). Для n независимых повторений с вероятностью p вероятность «все успешны» равна pn.
  • Формула полной вероятности: P(A) = P(H1)·P(A|H1) + … + P(Hk)·P(A|Hk), где Hi — гипотезы, в сумме дающие 1.
  • Число сочетаний: Cnk = n! / (k!·(n − k)!) — сколькими способами выбрать k объектов из n без учёта порядка.
  • «Хотя бы один» удобно считать через противоположное: P = 1 − P(ни одного).

Приём решения по шагам

  1. Разбей событие на простые: «и» — умножение (для независимых), «или» — сложение (для несовместных).
  2. Если результат зависит от того, откуда объект (завод, урна, группа), — составь гипотезы и примени формулу полной вероятности.
  3. Для выбора нескольких объектов посчитай сочетания: благоприятные / все.
  4. Сверь: сумма вероятностей всех вариантов должна быть равна 1.

Два разобранных примера из банка «Ранга»

Сначала реши сам — потом раскрой ответ и разбор. Ответы взяты из банка, по которому работает тренажёр, и проверены.

Пример 1

Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени, каждый делает один выстрел. Вероятность попадания первого стрелка равна 0,7, второго — 0,6. Найди вероятность того, что мишень будет поражена ровно одним выстрелом.

Показать ответ и разбор

Ответ: 0,46

Ровно одно попадание: первый попал, второй нет (0,7 · 0,4 = 0,28) или первый промахнулся, второй попал (0,3 · 0,6 = 0,18). События несовместны: 0,28 + 0,18 = 0,46. Ответ: 0,46.

Карточка банка «Ранга» math_profile-5-3 — авторское тренировочное задание в формате ЕГЭ, ключ проверен. Решить похожее в тренажёре

Пример 2

В группе 10 человек: 4 девушки и 6 юношей. Случайным образом выбирают трёх человек для дежурства. Найди вероятность того, что среди выбранных окажутся ровно две девушки.

Показать ответ и разбор

Ответ: 0,3

Всего способов выбрать троих: C(10, 3) = 120. Благоприятных: две девушки из четырёх и один юноша из шести: C(4, 2) · C(6, 1) = 6 · 6 = 36. P = 36/120 = 0,3. Ответ: 0,3.

Карточка банка «Ранга» math_profile-5-6 — авторское тренировочное задание в формате ЕГЭ, ключ проверен. Решить похожее в тренажёре

Типичные ошибки

  • Складывают вероятности совместных событий, забыв вычесть P(A и B).
  • Перемножают вероятности зависимых событий (например, вытаскивание без возвращения) как независимые.
  • В «ровно один из двух» учитывают только один вариант вместо двух: «первый да, второй нет» и «первый нет, второй да».
  • Неверно переводят проценты в вероятность: 3 % = 0,03, а не 0,3.

Тренироваться: 30 заданий этого номера

Тренажёр «Ранга»: условие, проверка ответа сразу и разбор по шагам. Первое задание — без регистрации, дальше — в кабинете ученика.

Решать задание 5

Кабинет ученика · Разбор задания 5: 10 примеров

Частые вопросы о задании 5

Сколько баллов дают за задание 5 ЕГЭ по профильной математике?
До 1 балл из 33 первичных баллов (проект спецификации КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ). Уровень сложности — повышенный.
Сколько времени тратить на задание 5?
Примерное время выполнения по спецификации ФИПИ — 7 минут; на весь экзамен отводится 235 минут.
Что проверяет задание 5?
Умение применять формулы сложения и умножения вероятностей, формулу полной вероятности и комбинаторные формулы.
Где потренироваться на задании 5?
В тренажёре «Ранга» по этому номеру сейчас 30 заданий с проверкой ответа и разбором; первое задание открывается без регистрации.

Источник: ФИПИ — демоверсии, спецификации, кодификаторы ЕГЭ, архив материалов 2027 года (проект спецификации и демоверсии КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ (опубликован как проект; в 2027 году заданий 20 вместо 19, максимальный первичный балл — 33)).

Тексты теории — авторские материалы «Ранга». Примеры — авторские тренировочные задания в формате ЕГЭ, не официальные задания ФИПИ. Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.