Задание 3: Стереометрия: объёмы и площади поверхностей

Теория к заданию № 3 ЕГЭ-2027 по профильной математике: коротко правило, приём решения по шагам, два разобранных примера из банка «Ранга» и ошибки, на которых теряют балл.

Что проверяет задание 3

Что проверяет
Умение вычислять объёмы и площади поверхностей многогранников и тел вращения: призма, параллелепипед, пирамида, цилиндр, конус, шар.
Баллы
до 1 балл из 33 первичных
Уровень
базовый
Время
около 3 минуты (примерное время по спецификации ФИПИ; на весь экзамен — 235 минут)
Формат
часть 1, краткий ответ — число

Правило и теория

  • Призма и цилиндр: V = Sосн·h. Прямоугольный параллелепипед: V = a·b·c, диагональ d = √(a2 + b2 + c2).
  • Пирамида и конус: V = ⅓·Sосн·h — ровно треть объёма призмы (цилиндра) с тем же основанием и высотой.
  • Шар: V = 4/3·πR3, площадь сферы S = 4πR2.
  • Боковая поверхность: цилиндр 2πRh, конус πRl (l — образующая), прямая призма — периметр основания × высота.
  • При увеличении всех линейных размеров в k раз площадь растёт в k2 раз, объём — в k3 раз.
  • Объём составного тела = сумма объёмов частей (или большое тело минус вырезанная часть).

Приём решения по шагам

  1. Определи тело и нужную величину: объём, площадь поверхности или линейный размер.
  2. Найди недостающие размеры (часто через теорему Пифагора в сечении или в основании).
  3. Подставь в формулу; при сравнении тел используй отношения (k, k2, k3), а не пересчёт с нуля.
  4. Проверь, не сократилось ли π: в ответ ЕГЭ идёт число, часто условие специально даёт «объём, делённый на π».

Два разобранных примера из банка «Ранга»

Сначала реши сам — потом раскрой ответ и разбор. Ответы взяты из банка, по которому работает тренажёр, и проверены.

Пример 1

Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 2 и 3. Высота пирамиды равна 4. Найди объём пирамиды. Ответ — целое число.

Показать ответ и разбор

Ответ: 8

Шаг 1. Найди площадь основания: это прямоугольник, поэтому S = 2 · 3 = 6. Шаг 2. Вспомни формулу объёма пирамиды: V = S·h/3 — одна третья произведения площади основания на высоту. Шаг 3. Подставь числа: V = 6 · 4 / 3 = 24 / 3 = 8. Шаг 4. Проверь смысл множителя 1/3: параллелепипед с тем же основанием и той же высотой распадается ровно на три такие пирамиды, поэтому объём пирамиды втрое меньше объёма коробки. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (квадратура Симпсона по площади сечения и разложение коробки на три равновеликие пирамиды): оба дают 8. Ответ: 8.

Карточка банка «Ранга» math_profile-3-19 — авторское тренировочное задание в формате ЕГЭ, ключ проверен. Решить похожее в тренажёре

Пример 2

Найди объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Многогранник-«ступенька»: передняя грань из прямоугольников 6×2 и 5×4, глубина 6; размеры подписаны на рёбрах.
Показать ответ и разбор

Ответ: 192

Многогранник — прямая призма высотой 6, основание которой — «ступенька» из двух прямоугольников: 6 × 2 и 5 × 4. Площадь основания: 6·2 + 5·4 = 32. Объём: 32 · 6 = 192. Ответ: 192.

Карточка банка «Ранга» math_profile-3-41 — авторское тренировочное задание в формате ЕГЭ, ключ проверен. Решить похожее в тренажёре

Типичные ошибки

  • Забывают множитель ⅓ у пирамиды и конуса.
  • Путают радиус и диаметр основания цилиндра или шара.
  • При изменении размеров умножают объём на k вместо k3.
  • Считают боковую поверхность вместо полной (или наоборот) — внимательно читай вопрос.

Тренироваться: 54 задания этого номера

Тренажёр «Ранга»: условие, проверка ответа сразу и разбор по шагам. Первое задание — без регистрации, дальше — в кабинете ученика.

Решать задание 3

Кабинет ученика · Разбор задания 3: 10 примеров

Частые вопросы о задании 3

Сколько баллов дают за задание 3 ЕГЭ по профильной математике?
До 1 балл из 33 первичных баллов (проект спецификации КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ). Уровень сложности — базовый.
Сколько времени тратить на задание 3?
Примерное время выполнения по спецификации ФИПИ — 3 минуты; на весь экзамен отводится 235 минут.
Что проверяет задание 3?
Умение вычислять объёмы и площади поверхностей многогранников и тел вращения: призма, параллелепипед, пирамида, цилиндр, конус, шар.
Где потренироваться на задании 3?
В тренажёре «Ранга» по этому номеру сейчас 54 задания с проверкой ответа и разбором; первое задание открывается без регистрации.

Источник: ФИПИ — демоверсии, спецификации, кодификаторы ЕГЭ, архив материалов 2027 года (проект спецификации и демоверсии КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ (опубликован как проект; в 2027 году заданий 20 вместо 19, максимальный первичный балл — 33)).

Тексты теории — авторские материалы «Ранга». Примеры — авторские тренировочные задания в формате ЕГЭ, не официальные задания ФИПИ. Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.