Задание 2: Векторы и координаты на плоскости

Теория к заданию № 2 ЕГЭ-2027 по профильной математике: коротко правило, приём решения по шагам, два разобранных примера из банка «Ранга» и ошибки, на которых теряют балл.

Что проверяет задание 2

Что проверяет
Умение оперировать векторами: координаты, сумма, разность, умножение на число, длина, скалярное произведение и угол между векторами.
Баллы
до 1 балл из 33 первичных
Уровень
базовый
Время
около 3 минуты (примерное время по спецификации ФИПИ; на весь экзамен — 235 минут)
Формат
часть 1, краткий ответ — число

Правило и теория

  • Координаты вектора AB = (xB − xA; yB − yA) — «конец минус начало».
  • Сумма и разность — покоординатно: a + b = (a1 + b1; a2 + b2); число умножает каждую координату: k·a = (k·a1; k·a2).
  • Длина вектора: |a| = √(a12 + a22).
  • Скалярное произведение: a·b = a1b1 + a2b2 = |a|·|b|·cos φ, где φ — угол между векторами.
  • Векторы перпендикулярны ⇔ a·b = 0; коллинеарны ⇔ координаты пропорциональны: a1b2 − a2b1 = 0.
  • cos φ = (a·b) / (|a|·|b|); если a·b < 0, угол тупой.

Приём решения по шагам

  1. Выпиши координаты всех векторов (на клетчатой бумаге — считай клетки по горизонтали и вертикали со знаком).
  2. Выполни нужные действия покоординатно: сумма, разность, умножение на число.
  3. Примени формулу длины или скалярного произведения.
  4. Проверь, что спрашивают: длину, её квадрат, скалярное произведение или косинус угла.

Два разобранных примера из банка «Ранга»

Сначала реши сам — потом раскрой ответ и разбор. Ответы взяты из банка, по которому работает тренажёр, и проверены.

Пример 1

Даны векторы a (−8; −7) и b (−7; 2). Найди их скалярное произведение. Ответ — целое число.

Показать ответ и разбор

Ответ: 42

Шаг 1. Скалярное произведение векторов, заданных координатами, считается покоординатно: a·b = x₁·x₂ + y₁·y₂. Шаг 2. Подставь координаты: a·b = (−8)·(−7) + (−7)·2. Шаг 3. Перемножь: 56 + −14 = 42. Шаг 4. Проверь знак: отрицательное произведение означает тупой угол между векторами, нулевое — прямой. Здесь знак согласован со знаками координат. Шаг 5. Контроль двумя независимыми путями (через |a+b|² и через |a−b|²): оба дают 42. Ответ: 42.

Карточка банка «Ранга» math_profile-2-30 — авторское тренировочное задание в формате ЕГЭ, ключ проверен. Решить похожее в тренажёре

Пример 2

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён вектор a⃗. Найди длину вектора a⃗.

Векторы на клетчатой бумаге, концы векторов в узлах сетки.
Показать ответ и разбор

Ответ: 10

Вектор a⃗ смещается на 6 клеток вправо и на 8 вверх: a⃗(6; 8). |a⃗| = √(6² + 8²) = √100 = 10. Ответ: 10.

Карточка банка «Ранга» math_profile-2-22 — авторское тренировочное задание в формате ЕГЭ, ключ проверен. Решить похожее в тренажёре

Типичные ошибки

  • Вычитают «начало минус конец» и получают вектор с противоположными знаками.
  • Забывают извлечь корень в формуле длины — или, наоборот, извлекают, когда спросили квадрат длины.
  • Путают скалярное произведение (число) с покоординатным произведением (вектор).
  • Теряют минус при умножении отрицательной координаты.

Тренироваться: 30 заданий этого номера

Тренажёр «Ранга»: условие, проверка ответа сразу и разбор по шагам. Первое задание — без регистрации, дальше — в кабинете ученика.

Решать задание 2

Кабинет ученика · Разбор задания 2: 10 примеров

Частые вопросы о задании 2

Сколько баллов дают за задание 2 ЕГЭ по профильной математике?
До 1 балл из 33 первичных баллов (проект спецификации КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ). Уровень сложности — базовый.
Сколько времени тратить на задание 2?
Примерное время выполнения по спецификации ФИПИ — 3 минуты; на весь экзамен отводится 235 минут.
Что проверяет задание 2?
Умение оперировать векторами: координаты, сумма, разность, умножение на число, длина, скалярное произведение и угол между векторами.
Где потренироваться на задании 2?
В тренажёре «Ранга» по этому номеру сейчас 30 заданий с проверкой ответа и разбором; первое задание открывается без регистрации.

Источник: ФИПИ — демоверсии, спецификации, кодификаторы ЕГЭ, архив материалов 2027 года (проект спецификации и демоверсии КИМ ЕГЭ-2027 ФИПИ (опубликован как проект; в 2027 году заданий 20 вместо 19, максимальный первичный балл — 33)).

Тексты теории — авторские материалы «Ранга». Примеры — авторские тренировочные задания в формате ЕГЭ, не официальные задания ФИПИ. Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.