15 задание ЕГЭ по информатике: отрезки и шаблон решения

Кому: выпускнику · Обновлено 2026-10-25

Раздел: Информатика · Тема: Разборы заданий по номерам · Задание 15

Чтобы решить задание № 15 ЕГЭ по информатике на отрезки, переведи логическую формулу в ограничения: какие точки отрезок A обязан содержать, а какие включать нельзя. Затем найди допустимые границы, вычисли длину и проверь, что выражение истинно для каждого значения x из условия.

Решить задание в тренажёре

Задание № 15 ЕГЭ по информатике: теория для отрезков

Запись x ∈ P означает, что число x принадлежит отрезку P. Для P = [p; q] это условие p ≤ x ≤ q. Квадратные скобки включают обе границы: точки p и q принадлежат отрезку. Обозначение x ∉ P означает отрицание принадлежности.

Главное правило для импликации: U → V ложно только тогда, когда U истинно, а V ложно. Поэтому вместо попытки сразу упростить длинную формулу часто удобнее выяснить, при каких условиях она нарушается. Все такие случаи нужно исключить.

Сначала уточни область значений x. Если x целое, проверяются только целые точки. Если x действительное, учитывать нужно и промежутки между соседними границами. Отдельно прочитай, что требуется найти: длину, координату границы или количество подходящих значений.

• ¬U — отрицание: меняет истину на ложь и наоборот.
• U ∧ V — конъюнкция: истинны оба условия.
• U ∨ V — дизъюнкция: истинно хотя бы одно условие.
• U → V — импликация: равносильна ¬U ∨ V.

Как решать задание № 15 ЕГЭ по информатике руками

Начинай с числовой прямой. Отметь границы известных отрезков и подпиши участки, на которых истинны высказывания x ∈ P и x ∈ Q. Для принадлежности отрезкам значение высказывания меняется только при переходе через границу.

Дальше найди условия ложности всей формулы. У дизъюнкции должны одновременно оказаться ложными все части. У конъюнкции достаточно одной ложной части. Если внутри есть импликация, раскрой её по правилу из первого раздела.

Результат запиши словами: например, «A не может содержать точки вне разрешённой области» или «A обязан содержать пересечение P и Q». Такая запись помогает не перепутать направление включения. После этого задача сводится к выбору концов одного отрезка.

• Выпиши область x и требования к границам A.
• Отметь известные отрезки на числовой прямой.
• Определи, когда формула становится ложной.
• Выдели обязательные и запрещённые для A точки.
• Выбери границы по требованию минимума или максимума.
• Проверь формулу и вычисли именно запрошенную величину.

Задание № 15 на отрезки: аналитика и направление включения

Разберём структуру (A(x) → P(x)) ∨ Q(x), где A(x), P(x), Q(x) обозначают принадлежность соответствующим отрезкам. После раскрытия импликации получаем ¬A(x) ∨ P(x) ∨ Q(x). Выражение ложно, когда точка входит в A, но не входит ни в P, ни в Q.

Значит, среди проверяемых значений x отрезок A может содержать только точки объединения P и Q. Если формула должна выполняться для всех действительных x, это записывается как A ⊆ P ∪ Q. При ограниченной области x требование действует только внутри неё.

Теперь сравни с формулой (P(x) ∨ Q(x)) → A(x). Здесь условие обратное: все проверяемые точки объединения должны принадлежать A. В первом случае объединение ограничивает расширение A, во втором — задаёт обязательное покрытие. Перестановка частей импликации меняет смысл задачи.

• A(x) → P(x): точки A должны принадлежать P.
• P(x) → A(x): точки P должны принадлежать A.
• P(x) ∧ Q(x): точка принадлежит пересечению.
• P(x) ∨ Q(x): точка принадлежит объединению.

Задание № 15 ЕГЭ: отрезки и шаблон поиска длины

После преобразования формулы удобно пользоваться двумя понятиями: обязательная область и разрешённая область. Обязательная должна попасть в A. За пределами разрешённой области точки включать нельзя. При этом A остаётся одним отрезком: выбрать несколько отдельных фрагментов вместо него нельзя.

Для минимальной длины найди крайнюю левую и крайнюю правую обязательные точки. Отрезок между ними — кандидат, который нужно проверить на запрещённые точки. Если обязательных точек нет, этот приём не определяет ответ: нужно отдельно изучить допустимые положения и размеры A.

Для максимальной длины ищи допустимый непрерывный участок, который можно целиком занять отрезком A. Если обязательная область задана, выбранный участок должен её содержать. Когда разрешённых участков несколько, сравни их длины и проверь остальные ограничения.

При целочисленном x соседние разрешённые блоки могут соединяться без запрещённой целой точки между ними. Поэтому рисунок для действительных чисел нельзя механически переносить на целые. Длина [a; b] равна b − a, а количество целых точек при целых границах равно b − a + 1.

Задание № 15 ЕГЭ по информатике: проверка на Python

Программа полезна как проверка перевода формулы. Для конечной области целых x можно перебрать все значения и остановиться при первом нарушении. Ниже функция для структуры (A(x) → P(x)) ∨ Q(x): p и q — пары границ известных отрезков, domain — область проверки.

def valid(a, b, p, q, domain): if a > b: return False for x in domain: in_a = a <= x <= b in_p = p[0] <= x <= p[1] in_q = q[0] <= x <= q[1] if not ((not in_a or in_p) or in_q): return False return True

Для целых x от L до R включительно передай domain = range(L, R + 1). В Python верхняя граница range не включается, поэтому прибавление единицы необходимо. Используй скобки даже там, где порядок операций кажется очевидным.

Чтобы искать длину перебором, проверяй допустимые пары a ≤ b и сравнивай b − a только у подходящих кандидатов. Диапазон границ A должен следовать из условия или доказанного ограничения. Перебирать границы только внутри области x без такого обоснования нельзя.

Типичные ошибки и проверка решения

Проверка должна подтверждать и истинность формулы, и требуемый минимум или максимум. Подходящий отрезок ещё не доказывает, что более длинного или более короткого варианта нет. Объясни, какие ограничения мешают изменить его границы в нужную сторону.

При ручном разборе проверь границы известных отрезков и A. Для целых x полезно также проверить соседние целые значения, если они входят в область задачи. Для действительных x при формуле только из принадлежностей отрезкам проверь все граничные точки и по одной точке каждого промежутка между ними, включая внешние промежутки в области проверки.

• Не заменяй импликацию требованием, чтобы обе её части были истинны.
• Не путай объединение с пересечением: для «или» достаточно одного условия.
• Не объединяй разрешённые участки через запрещённую проверяемую точку.
• Не прибавляй единицу к длине отрезка: она нужна при подсчёте целых точек.
• Не считай проверку нескольких выбранных x доказательством для всей области.

Как тренировать отрезки, множества и делители

Отрезки — один из способов задать множества в логическом выражении. В задачах на множества сохраняется тот же принцип: выяснить, какие элементы обязательны, какие запрещены и какие остаются на выбор. Для делимости меняются исходные высказывания, но правила импликации, отрицания, конъюнкции и дизъюнкции работают так же.

Тренируйся короткими сериями. Сначала реши несколько задач с одной импликацией, затем добавь пересечение или объединение. После каждого решения запиши условие ложности и объясни выбор границ. Если допустил ошибку, определи её причину: логика, область x, границы или вычисление длины.

В «Ранге» можно потренировать задание № 15 с проверкой ответа. Бесплатный тест поможет выбрать следующие темы для повторения; после него вернись к ошибочным решениям и восстанови рассуждение самостоятельно.

Материал — разъяснение «Ранг». Официальные правила экзамена, расписание, шкалы баллов и перечни заданий публикуют ФИПИ (fipi.ru) и Рособрнадзор (obrnadzor.gov.ru). Мы не обещаем конкретных баллов: результат зависит от твоей работы.